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篇一:数学与折纸
数学与折纸
我们中的大多数人能都人能有过折纸的经历,只是折叠后便收了
,
·卡洛尔也是一位折纸的热心
,但日本人却把它作为一种交
谊的途径,并通过普及和健康发展,或使之成为一门称之为“折纸”
当折叠颜料的时候,:正
方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、
垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念.
下面是一些折纸的例子,它说明了上述语汇的运用.
Ⅰ)从一个矩形式样的颜料,作成一个正方形(下图左).
Ⅱ)由一张正方形的纸张,变成四个全等的正三角形(上图右).Ⅲ)
找出正方形一条边的直角(下图右).
Ⅳ)八边形在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中).
Ⅴ)研究纸的折痕,注意内接正方形的面积是大正方形面积的.
Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠,令折痕过正方形中心,便会构成八个
全等的梯形(下图左).
Ⅶ)把一个正方形折成两半,那么折痕将成为正方形边的垂直平分
线(下图右).
Ⅷ)证明伊壁鸠鲁定理.
如右图折叠八边形纸:
c=正方形ABCD的面积.
a=正方形FBIM的面积.
b=正方形AFNO的面积.
由全等形状吻合得:
正方形FBIM的面积=△ABK的面积.
又AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余少
部分的面积).这样,a+b=c222
222
Ⅸ)证明三角形内角和相当于180°.
取任意形状的正三角形,并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠
a°+b°+c°=180°——它们形成一条圆周.
Ⅹ)通过折切线构造圆柱体.
程序:
——在离纸张一边一两英寸的地方,
示的方法,将纸折20-,便是抛物线的切
线,它们整体地勾画出曲线的轮廓.
篇二:探究折纸中的数学
思考折纸中的数学
教学目标
(1)通过折纸理解垂直和平行的定和相义关性质;体会折纸中
的逻辑学思想,从数学的角
度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。培养学生分析结构
性问题、解决问题的能力。
(2)通过折纸理解等腰三角形和等边三角形的相关性质。
(3)体会和理解等量(等角、等边、全等)产生新举措的具体操
作具体措施和依据。
教学重点:通过折纸巩固中点的定义、角平分线定义以及垂直和
平行切线的定义和相关性质;掌握折纸的基本方式,并通过折等腰和
等边三角形体会和理解等量(等角、等边、全等)产生的具体操作办
法和主要依据。
教学难点:正确地分析折纸所蕴含着的数学数学分析内部信息
教学方法:引导法、讨论法、操作探索法。
教具:多媒体计算机、投影、课件
教学过程设计:
一、引课
用多媒体打出折纸作品的图片供学生欣赏,激发学生的兴趣。然
后刻画出让学生描绘他们自己提前作的折纸作品。中其并让学生一谈
下自己在折纸过程中的体会和认识。教师阐明折纸跟数学有很大的联
系。
二、正课:(分版块)(学生折纸折出后由学生上台演示充当窄
小一个小老师或展示自己的折纸作品充分发挥学生学****的主体地位,
增强学生学****数学的兴趣与成就感。)
(一)、做题审题与折纸有关系的旧知识:中点的定义.
1、怎样用折纸办法做出一条线断的中点。
(二)、复****与折纸有关系的旧知识:角平分线定义。
1、怎样用折纸的办法得到一个角的方案角平分线?
(三)、关连复****与垂直有关系的旧知识:垂直导出与垂直性质。
(1)取一张纸任意对折,将第一场对折的折痕再第一次对折,
展开纸张,你能找到其中的直角
吗?
(2)除了(1)中的方法,你还有其他方法折出锐角吗?与同伴
进行交流。
折抛物线的方法很多,比如将纸片的一边同时向内翻并对齐,也
可以得到直角,这里应让学生尽可能多的找出或讨论出折叠的方法,
对折纸的数学意义有充分的切身感受。
可以按下列方法图画,然后回答问题:
问题:AE与EF位置有什么关系?(先大胆猜想,再验证.)
(提示画出折痕EH)
解:∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)∴∠BEH=2∠2,∠CEH=2∠3
∵∠BEH+∠CEH=180(平角的定义)∴2∠2+2∠3=18000
∴∠2+∠3=900
∴∠AEF=90∴AE⊥EF(垂直的定义)0
(2)如何过一点折出与确知直线相垂直的直线(分别过直线上
和直线外一点作垂线)?
(四)、复****与折纸有折纸关连的旧知识:平行定义与平行公理
集合论和推论。
想一想
(1)通过折纸你能折出两条交叉点的直线吗?
(2)你能折出与已折两条平行线都平行的直线吗?
通过折叠直角,学生对折法有熟识了一定的认识和认识,再折平
行线学生能够联想到平行线的有关知识,可以想到只要折出九折相等
的同位角和内错角,就可以给予平行线;要折出与已折两条或利都平
行的直线只需将两条平行线再对折平行线用刚才的方法。教学时,可
先让学生回想平行线的性质和判定,进而找出方法,并能意识到折纸
中所的数学思想和依据。
(五)复****什么是等腰三角形?什么是等边三角形?
做一做:
1)怎样出像用一张纸片九折出等腰三角形?你能说出其中的在
我看来吗?
2)怎样用一张长方形纸片出等边三角形?折完后打开纸片,你
能找出其中的特殊图形和
轴对称图形吗?
未降等腰三角形的方法(一):如下图是以正
方形一边的中垂线为中心线向内折,依据是线翻段垂直平分线上
的点北距到线段中间点的距
离相等。
篇三:折纸与数学
折纸与数学
内容摘要:基础教育课程改革强调形成积极主动的学****态度;关
注学生的学****兴趣和经验;积极推动学生主动参与、乐于探究、勤于
动手,培养学生搜集和处理信息的能力、攫取新知识的能力、分析和
解决问题的能力??。基于此,在七年级的统考的教科书逐步二年级增
加了观察、探究、思考等内容,并把折纸作为数学学****的一些则一种
方法纳入到数学教学、学生探究中。回顾折纸的过程,我们不难发现:
折纸的运用很广泛,它其中包括很多的数学原理,折纸让数学变得直
观样貌,而数学又为折纸提供了理论依据,数论与折纸密不可分。
俄国生理学家巴甫洛夫说:“方法能够积极推动科学??科学成就
是依赖于方法的进步程度为推动而前进的,这句话并不假。方法每前
进一步,犹如我们每回落一阶一样,它会为我们展开更广阔的视野,
因而看到前所未见的对象。正因为如此,所以拟定方法是我们首要首
要的战斗任务”。
科学研究如此,学生的研读也是如此。要让学生真正有望成为学<br****与发展的主体,教师要指导学生从动被接受的学****方法转变为指引
自主、合作、探究的学****方式,也就是掌握技术手段科学的学****方法。
基础教育课程改革英语课程指出形成积极主动的学****态度;关注学生
的学****兴趣和理论知识;秉持学生主动参与、乐于探究、勤于动手,
培养学生搜集撷取和处理信息的能力、以获取新知识的能力、分析和
解决问题的潜能??。
基于此,新的教科书观察逐步增加了观测、探究、思考等内容,
并把扩大至折纸作为数学学****的一种方法纳入到数学教学、学生探究
中。而折纸这种让学生既动手又动脑、让学生亲身经历积极参与问题
作为思考和分析的过程的一种方法提了出来。
以七年级教科书文句第一章内容为例,你会发现很多参考资料都
用到了折纸法,立体图形的平面展开图,两条线段的比较大小,找已
知一条线的中点、做已知角的平分线、过一点(点的位置又分为在直
线同时上或在直线外两种)做已知谈直线的垂线等都可以通过折纸的
方法直观表现出来。有些数学家甚至建议,折纸可作为一种新颖有趣
的集合教学法。对于喜欢动手的学生来说,学****会事半功倍。
通常的折纸从正方形折起,一个正方形变形为四边形一个盒子;
一个正方形变形为一只鸟;一个正方形断裂一座为一座宝塔;一个长
方形变形为一个变形花篮??。在创作折纸图形时,折纸能手
是由一张正方形的纸开始的,然后结合他们的想象、技巧和决心,
变形为任意的花纹。一个正方形之所以可以选为折纸算数的初始单元,
现在分析起来是因为与矩形和其它四边形相比,它有四条对称轴;而
虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴,但它们又缺少正方形所拥有
的三角形,这就使使到剧本创作上造成了较大的困难。折纸的对象被
展示出出来后,留在正方形纸张上的折痕,揭示出高性大量几何的对
象和性质。在正方形纸张上的折痕锯齿状表现出以下的数学概念:相
似、轴对称、中心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形
结构的迭代在(图案内不断地重复图案)。心灵手巧,数学寓于折纸
中同,不管折纸人的身份如何,对数学的了解总然会在折纸中增加人
类的能力和创造力。
1、折纸的巧妙运用,让学生另辟蹊径,体验到了数学学****的乐
趣。
作为一名教师,我对折纸的认识颇有感触。记得教学中中曾我曾
遇到过此题的教学:,将矩形的一
角向内折叠,使点B落在直线MN上,得到落点Bˊ和折痕AE,并延长
EBˊ交AD于点F,猜想,ΔAEF是什么三角形?并证明你的结论.
看到此题后,大部分学生显得很茫然,眼睛紧盯着老师,只有前
排的一个学生悄无声息拿出一张纸慢慢随着题意叠起来,逐渐地同学
也开始跟着模仿。通过学生亲手折叠,我们很容易发现,点B
和点Bˊ关于直线AE轴对称,若连接ABˊ,则ABˊ垂直平分EF,
Δ
AEF为等腰三角形,再加上∠BAE=∠EABˊ,所以ΔAEF为等边三
角形。
这节课的学****对我今后的教学触动很大。试想:折纸的这些特点
和规律如果用在今天的数学教学表现形式中所,肯定对我们有很大的
帮助,简单明了因为它直观地反映了图形之间的关系以及变化的规律,
学生可以未必借助任何现代技术,仅仅通过通过观察、纸张分析自己
手中的一张纸反复折叠、滑动就可以很容易规律地发现事物的规律,
从而自主性有效调动师生的积极性,自觉成为学****的主人。荷兰数学
教育家赫尔曼、弗赖登塔尔也曾说过:“数学来源于现实,存在于现
实,并且应用于现实,教学教学过程应该是替学生把现实转化成数学
问题的过程”。随着课程改革的进一步实施,《数学课程标准》中也
明确指出:“从学生尚有的生活经验动身出发,让学生亲身经历将现
实问题抽象成数学模型并解释与应用的操作过程,进而使语言学学生
获得对数学的理解??。”折纸正是满足了这种要求,为学生提供了真
实的问题情景,通过学生的亲身经历,很容易找到问题
的解决方法。
2、折纸在数学中的运用,使得学生的数学学****更加直观生动。仅
以初中数学为例,初中数学的图形教学主要以平面图形为主,辅以部分
立体图形,而平面图形当中,又是以三角形,四边形,圆为主线逐步展
开的。其中一些定理的证明就可用到折纸法,最明显的三角形例子就
是三角形正三角形和等于180度的证明,虽然方法不同,但如何把不
同位置的三角形的三个内角组合在一起就成了本定理证明的重点,其
中选择惟一的方法是平移法;首先做平行线,利用平行线的性质:同
位角相等或内错角相等,使得三个内角恰好构成了一个平角来粉色证
明。但如果利用折叠法的话,把三角形的三个内角沿某条线对折起来,
很直观地构成一个斜高,也能说明三角形的内角和为180度,而且这种
方法既单纯又通俗,学生还特别容易理解。而对于轴对称说来和中心对
称图形来说,折纸的竞争优势更是显而易见的(折叠前后两个三维会全
等),另外还有一些辅助线的添加(例如,当中某些角平分线或中垂
线中的一些线会的添加等),都为折纸法的集成创造了空间??,因此
教师在教学中如果能很好地应用好折纸某些这种方法,许多内容的传授
是简单易行的。而且这也初等教育体现了新课改的精神,把数学教学
从热衷于无数的常规体能训练转到发展学生基础宽广的数学能力。教
师不仅要亲自动手学生一个结论,更非常重要的让学生学会自己探求
去探究。要使学生能够真正掌握数学知识并解决实际问题,教师就必
须要引导学生去亲历知识发生、发展的过程,领会比教材纯粹更多的
数学,逐步提高中学生的学****能力。
再如2021年北京市一道中考试题:在ΔABC中,已知AB等于2a,
角A等于30度,CD是AB边的中线,若将ΔABC沿CD对折起来,折叠
后两个小ΔACD与BCD重叠部分的面积恰好面积等于折叠前ΔABC的
英亩的四分之一,有如下结论:
(1)AC边的长可以是a;
(2)折叠前的ΔABC的面积可以等于2
(3)折叠后,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。
其中,正确结论的个数是()
(A)0个(B)1个(C)2个(D3个
此题常见有两种微积分,答案为D。,属于难题。
本题通过几何图形的折叠风险问题,考查了学生在基本二的维运动、
变化过程中,通过观察、分析、比较、判断、推理
等思维活动,寻求几何基本元素及其关系寻求的能力,同时分与
也考查了分情况讨论的人生观方法。此类****题每次在中考中课程内容
都有所凸显,还有加大的可能,的折纸提升了学生的思维分析方法方
法。
3、折纸利用还在进一步延伸。折纸的应用距离远不限于此,人们
还可以用一个纸(二维物体)来折一个形体(三维物体)或由扇形来
折一个圆锥,把一个立体图形转化为一个平面的图形来考虑,这个明
显地反映出空间中数的维变动。例如此题:一只蚂蚁要从正方体的一
个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?如果要爬到顶点C
呢?说出你的理由。
从A到B,学生很容易想到:两点之间,线段最短。而从A到C,
显然点A和点C不在一个平面上,那又如何找最短距
离呢?我们不妨把此正方形平面展开,则点A和点C也在
一个平面内,连接AC即为蚂蚁四肢的最短路线。
研究折纸的创作过程也极具批判性。这与新课程强调的体验性学<br****不谋而合,让学生在学****过程中不仅要用自己的脑子去想用,而且
要用眼睛看,用耳朵听,用嘴说话,用手操作,躯体即用自己的身体
去亲身经历,用自己的心灵急著感悟学****重视学生的直接经验,鼓
励学生对教科书的自我解读,自我理解,尊重学生的个人感受和独特
见解,进而促进学生的全面产业发展,这不仅是理解知识的需要,更
是激发学生生命活力、促进学生成长的需要。实验证明,折纸用在今
天的数学学****中的确能起到更上一层楼的作用。折纸使得数学问题愈
加直观形象,同时丰富数学又为折纸的内容提供了丰富的意蕴,数学
与折纸密不可分。