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一级模块名称函数与极限二级模块名称计算模块
三级模块名称极限的计算---两个重要极限模块编号1-9
先行知识极限的计算---常用计算方法模块编号1-8
知识内容教案要求掌握程度
1、两个重要极限的证明1、理解两个重要极限
sinx
2、lim型极限的计算(第一个重要极限公2、熟练掌握简单的利用两个
x0x
重要极限公式求函数的极限
式)一般掌握
1
3、lim(1)x型极限的计算(第二重要极限公3、一般掌握较复杂的利用两
xx
个重要极限求函数的极限
式)
1、培养学生的计算能力
能力目标
2、培养学生对知识的归纳能力
时间分配45分钟编撰陈亮校对王清玲审核危子青
修订熊文婷二审危子青
一、正文编写思路及特点:
思路:通过对两个重要极限的特点分析,及例题层层递进的训练。让
学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。
特点:以两个重要极限的基本模型为基础,对类似的两个重要极限进
行转计算,换让学生在对同类型的极限进行计算过程中,掌握利用两
个重要极限进行相关计算。
二、授课部分
(一)预备知识
0
型极限的计算
0
(二)新课讲授
1、无穷小的定义
定义:如果当xx(或x)时,函数fx的极限为零,那么函
0
数fx就称为xx(或x)时的无穷小量(简称fx为无穷
0
小)。
sinx
引例lim?
x0x
(说明:当x0时,sinx,x均为无穷小量.)
sinx
2、(第一个重要极限)lim1
x0x
(选讲)证明思路:函数的夹逼准则
sinx0
由于lim为型极限,之前我们有因式分解法,而对于
x0x0
sinx
lim显然无法利用因式分解法进行求解,所以我们利用如下解
x0x
法。
首先注意到,函数sinx对于一切x0都有定义.
x
如右图,图中的圆为单位圆,BCOA,
x(0<x<).
2

显然sinxCB,xAB,
S<S<S,
AOB扇形AOBAOD
所以
1sinx<1x<1tanx,
222
即sinx<x<tanx.
x1sinx
不等号各边都除以sinx,就有1,或cosx1.
sinxcosxx

注意:此不等式当<x<1,
2x0
sinx
根据夹逼准则得lim1.
x0x
sin(x)
使用说明在极限lim中,只要(x)是无穷小,就有
(x)
sin(x)
lim1
(x).
sin3x
.(一级)
x0x
sin3xsin3x
解limlim33
x0xx03x
tanx
.(一级)
x0x
tanxsinx1sinx1
解limlimlimlim1.
x0xx0xcosxx0xx0cosx
cosx.(二级)
x0x2
xx
2sin2sin2
1cosx1
解limlim2lim2
x0x2=x0x22x0x
()2
2
sin2x
(选讲).(三级)
xsin3x
解:令tx,则
sin2xsin2(t)sin2t2
limlimlim
xsin3xt0sin3(t)t0sin3t3
1
3、(第二个重要极限)lim(1)xe
xx
1
考虑特殊情况lim(1)n,可得数列
nn
1
{(1)n}的取值的表格如下:
n
n123102030100
12964
{(1)n}
n427
(注:表格中算出的值均为无理数)
根据上述的表格,可得以下结论:
1
⑴数列{(1)n}单调、有界;
n
1
⑵数列{(1)n}的极限存在;
n
1
⑶数列{(1)n}的极限为无理数.
n
1
使用说明:在极限lim[1(x)](x)中,只要(x)是无穷小(1型
1
极限),就有lim[1(x)](x)e.
1
(1)n.(一级)
nn
解令t=n,则n®¥时,t®¥.于是
1
n111
lim(1)lim(1)tlim.
nnt1e
tt(1)t
t
111
或lim(1)nlim(1)n(1)[lim(1)n]1e1
nnnnnn
1
(1x)x.(一级)
x0
1
解令t则x®0时,t®¥.于是
x
11
t
lim(1x)xlim(1)e.
x0tt
11
注:lim(1x)xe为lim(1)xe的等价形式.
x0xx
1
(1)2x2.(二级)
xx21
解令tx21则x®¥时,t®¥.于是
1112(t1)2(t1)
lim(1)2x2lim(1)2(t1)lim[(1)t]tlimete2
xx21ttttt
2
(选讲)(1sinx)x.(三级)
x0
212sinx
lim(1sinx)xlim(1(sinx))sinxx
解:x0x0
12sinx
lim[(1(sinx))sinx]xe2
x0
注:例6、例7和例8中的函数均为幂指函数,幂指函数形如
[f(x)]g(x).若limf(x)A0,limg(x)B,则lim[f(x)]g(x)AB.
三、能力反馈部分
(一)第一个重要极限
sin5x
(1)lim(一级)
x0x
11
(2)lim(sinxxsin)(一级)
x0xx
cos4x1
(3)lim(二级)
x0x2
x
(4)lim(1x)tan(三级)(选做)
x02
(二)第二个重要极限
1
(1)lim(12x)x(一级)
x0
ln(1x)
(2)lim(二级)
x0x
x21
(3)lim()x2(二级)
xx21
()1(三级(选做)
4lim(cos2x)sin2x)
x0