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学必求其心得,业必贵于专精
。1集合及其表示方法
,集合的
初步知识与其他内容有着密切的联系,是学****掌握和使用数学语
(自然数的集合等)出发,结合实
例给出元素、集合的含义,体现逻辑思考的方法,如抽象、概括
等.
【教学目标】在高中数学课程中,集合是刻画一类事物的语言和工
具,本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研
究对象,学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征;
【数据分析】理解元素与集合的"属于”和"不属于”关系;
【数学运算】掌握常用数集及其记法;
【逻辑推理】掌握集合的表示方法;
【教学重点】
掌握集合、元素的基本概念
1、
学会用描述法表示集合
2、
用区间表示集合
3、
【教学难点】
集合中元素的三个特征
1、
1:.
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空集的理解
2、
记住几种常见的数集符号
3、
由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时教师给出问题,
让学生读后回答问题,
生主动学****的****惯,提高阅读与理解、
集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.
【新课导入】
在生活与学****中,为了方便,我们经常要对事物进行分类。例如,
图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放
的,作文学****可按照文体如记叙文、议论文等
进行,整数可以分成正整数、负整数和零这三
类?
你能说出数学中其他分类实例吗?试着分析为什么要进行分类.
【新课讲授】
一、集合的概念
在数学中,我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一
些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集
合(有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
2:.
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集合通常用英文大写字母A,B,C,。。.表示,集合的元素通常
用英文小写字母a,b,c,..。表示.
如果a是集合A的元素,就记作
a∈A,
读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,就记作
a∉A,
读作“a不属于A".
【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗?
指出例子中集合的元素是什么。
【典型例题】
(1)如果A是由所有小于10的自然数组成的集合,则0∈A,0。
5∉A;
(2)如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合,则-1∈B,0∉B,1
∈B
(3)如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集
合,则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说,都有
P∈C.
【思考与讨论】
现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合,由于该方
程无解,因此这个集合不含有任何元素。
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一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作∅.
由空集的定义可得,0∉∅,1∉∅
【小结】
根据集合的概念可知,集合的元素具有以下特点:
(1)确定性:集合的元素必须是确定的。
因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对
象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来。
(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的。
因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归
,由英语单词
success(成功)中的所有英文字母组成的集合,包含的元素只有4个,
即s,u,c,e。
(3)无序性:集合中的元素可以任意排列,与次序无关。
【尝试与发现】
(1)你所在的班级中,身高不低于175cm的同学能组成一个集合
吗?
(2)你所在的班级中,高个子同学能组成一个集合吗?为什么?
(3)不等式x一2>1的所有解能组成一个集合吗?
二、几种常见的数集
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有一些数的集合经常要用到,为了方便起见,人们用约定俗成的符
号来表示它们.
(1)所有非负整数组成的集合,称为自然数集,记作N.
值得注意的是,0∈N,即0是自然数集N中的一个元素。
容易看出,如果a∈N,b∈N,则一定有a+b∈N且ab∈N,但a
—b∈N和a/b∈,1∈N,3∈N,但
1-3=—2∉N且⅓∉N.
在自然数集N中,去掉元素0之后的集合,称为正整数集,记作
N,或N*
+
所有整数组成的集合,称为整数集,记作Z
(2)
与自然数集N不同的是,如果a∈Z,b∈Z,则一定有a-b∈Z,但
a/b不一定成立(请学生自己举例说明)。
(3)所有有理数组成的集合,称为有理数集,记作Q。
我们知道,凡是能够表示成分数(即两个整数的商)的数称为有
理数。因此,如果a∈Q,b∈Q且b≠0,则a/b∈Q。例如,
3∈Q,1/2∈Q,且3/1/2=6∈Q.
(4)所有实数组成的集合,称为实数集,记作R。
显然,如果a∈R,b∈R,则a+b∈R,a—6∈R,ab∈R
当b≠0时,还有a/b∈R.
如不特别声明,本书中所有字母表示的数均指实数.
利用集合的符号,可以简化自然语言描述,比如:
“0是整数”可以表示为“0∈Z";
5:.
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“π不是有理数”可以表示为“π∉Q”;
“如果n是自然数,那么n+1也是自然数"可以表示为“如果n∈N,
那么n+l∈N"。
【思考与讨论】
(1)。.。可以表示成分数吗?
(2)任何一个无限循环小数都是Q中的元素,对吗?
三、列举法
前面提到的集合都是用自然语言描述的,但在数学中,我们经
常要使用符号来表示集合.
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写
在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
例如,由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为
{0,1};
又如,24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列
举法表示为
{1,2,3,4,6,8,12,24};
再比如,中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为
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{《红楼梦》,《三国演义》,《水浒传》,《西游记》}。
用列举法表示集合时,,{1,2}与
{2,1}表示同一个集合。但是,如果一个集合的元素较多,且能够按照
一定的规律排列,那么在不致于发生误解的情况下,可按照规律列
出几个元素作为代表,,不大于100的
自然数组成的集合,可表示为
{0,1,2,3,。..,100}。
,自然数集N可表示为
{0,1,2,3,.。。,n,..。}
值得注意的是,只含一个元素的集合{a)也是一个集合,要将它
与它的元素a加以区别,事实上,
a∈{a}.
描述法
四、
【思考与讨论】
以下集合用列举法表示方便吗?如果不万便,你觉得可以怎样表示?
(1)满足x〉3的所有数组成的集合A;
(2)所有有理数组成的集合Q。
显然,用列举法表示上述集合并不方便,但因为集合A中的元素
x都具有性质“x是大于3的数",而不属于集合A的元素都不具有
这个性质,因此可以把集合A表示为
{x|x是大于3的数}或{x|x>3),
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即A={x|x是大于3的数}或A={x|x>3}。
类似地,Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”,而不
属于Q的元素都不具有这个性质,因此可以把Q表示为Q={x1x是
两个整数的商}或Q={xlx=m/n,m∈Z,n∈Z,n≠0)。
上述表示集合的方法中,大括号内竖线的左边是元素的形式,竖
线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而
不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A
的一个特征性质。此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为
{x|p(x)}.
这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
例如,“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特
征性质,因此所有平行四边形组成的集合可以表示为
{x|x是一组对边平行且相等的四边形}。.
再例如,所有能被3整除的整数组成的集合,可以用描述法表示为
{x|x=3n,n∈Z)。
类似地,所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为
{x|x=3n+1,n∈N},
不过这一集合通常也表示为
{x∈N|x=3n+1,n∈Z)。
这就是说,集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成
的集合,可以表示为
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{x∈I|p(x)}。
【典型例题】
用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x一1)=0的所有解组成的集合A;
(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.
【思考与讨论】
判断A与B是有限集还是无限集,由此思考该选用哪种表示方
法。
解:(1)因为0和1是方程x(x-1)=0的解,而且这个方程只有
两个解,所以
A={0,1).
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,因此
B={(x,y)|x>0,y〉0}。
区间及其表示
五、<br****惯上,如果a〈b,则集合{x|a≤x≤b)可简写为[a,b],并称为
,集合{x|1≤x≤2)可简写为闭区间[1,2]。
类似地,如果a<b:
集合{x|a<x<b)可简写为(a,b),并称为开区间;
集合{x|a≤x<b)可简写为[a,b),集合{x|a〈x≤b}可简写
为(a,b],并都称为半开半闭区间.
9:.
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上述区间中,a,b分别称为区间的左、右端点,b-a称为区间的
。例如,区间[—2,1)可用下图表
示,注意图中一2处的点是实心点,而1处的点是空心点。
如果用“+∞”表示“正无穷大",用“-∞”表示“负无穷
大”,则:
实数集R可表示为区间(-∞,+∞)
集合{x|x≥a)可表示为区间[a,+oo)
集合{x|x〉a}可表示为区间(a,+oo)
集合{红|x≤a}可表示为区间(-∞,a]
集合{红|x<a}可表示为区间(-∞,a)
类似地,上述区间也可用数轴来形象地表示。例如,区间[7,+oo)
可以用下图表示
【典型例题】
10:.
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本节课是高中学生的第一节课,本次课以培养学生学****数学兴
趣,树立学生自信心为主要目的。教师讲课须生动形象有趣,贴近
生活,提高学生学****数学的兴趣****题须由浅入深,以浅为主,增
强学生学好数学的自信心,课堂上多提问,培养学生思考能力和专注
力,保持课堂的活泼性。
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