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七年级数学上册第一、二单元知识点汇总2023
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七年级数学上册第一、二单元学问点汇总
第一章数学与我们同行
一、生活数学
1、生活中的数学
视察、积累生活中常见的数学符号,了解它们表达的意义
如:身份证号码、邮政编码……
2、生活中的图形
视察、相识生活中的图形,感知它们与数学学问的联系
如:城市建筑群、超市的商品……
二、活动思索
1、数学活动——动手操作、探究新知
数学活动包括视察、试验、操作、猜想、归纳等。
2、数学思索——规律探究
数形结合、从特别到一般的思想方法图形规律、数字规律
三、思想方法
转化思想、建模思想、归纳思想、从特别到一般……
四、常见题型
探究数字、图形规律题
实践操作题
图案设计题
简洁的数字推理题
其次章有理数
一、正数和负数
1、正数和负数的概念
(1)负数:比0小的数。
(2)正数:比0大的数。
0既不是正数,也不是负数。
(3)留意:
①字母a可以表示随意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(假如出推断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简洁推断)。
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2、具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃。
3、0表示的意义
(1)0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
(2)0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
二、有理数
1、有理数的概念
(1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)。
(2)正分数和负分数统称为分数。
(3)正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
2、理解:只有能化成分数的数才是有理数。
(1)π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
(2)②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
3、留意:
引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
三、数轴
1、数轴的概念
(1)规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
(2)留意:
①数轴是一条向两端无限延长的直线;
②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不行;
③同一数轴上的单位长度要统一;
④数轴的三要素都是依据实际须要规定的。
2、数轴上的点与有理数的关系
(1)全部的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
(2)全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
(1)在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
(2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
(3)两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
(小)数
(1)最小的自然数是0,无最大的自然数;
(2)最小的正整数是1,无最大的正整数;
(3)最大的负整数是-1,无最小的负整数。
(1)a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
(2)a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0;
(3)a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0。
依据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
四、相反数
1、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
留意:
(1)相反数是成对出现的;
(2)相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
(3)0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
(1)任何数都有相反数,且只有一个;
(2)0的相反数是0;
(3)互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0。
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
(1)求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
(2)求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
(3)求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
(1)一般地,数a的相反数是-a,其中a是随意有理数,可以是正数、负数或0。
①当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
②当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
③当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以干脆省略;“-”号的个数确定最终化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
五、肯定值
1、肯定值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的肯定值,记作|a|。
2、肯定值的代数定义
(1)一个正数的肯定值是它本身;
(2)一个负数的肯定值是它的相反数;
(3)0的肯定值是0。
3、可用字母表示为
(1)假如a>0,那么|a|=a;
(2)假如a<0,那么|a|=-a;
(3)假如a=0,那么|a|=0。
4、可归纳为
(1)a≥0,<═>|a|=a(非负数的肯定值等于本身;肯定值等于本身的数是非负数。)
(2)a≤0,<═>|a|=-a(非正数的肯定值等于其相反数;肯定值等于其相反数的数是非正数。)
5、肯定值的性质
任何一个有理数的肯定值都是非负数,也就是说肯定值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即
(1)0的肯定值是0;:a=0<═>|a|=0;
(2)一个数的肯定值是非负数,:|a|≥0;
(3)任何数的肯定值都不小于原数。即:|a|≥a;
(4)肯定值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
(5)互为相反数的两数的肯定值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
(6)肯定值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
(7)若几个数的肯定值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
6、有理数大小的比较
(1)利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
(2)利用肯定值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,肯定值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
7、肯定值的化简
(1)当a≥0时,|a|=a;
(2)当a≤0时,|a|=-a。
8、已知一个数的肯定值,求这个数一个数a的肯定值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,肯定值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,肯定值为0的数是0,没有肯定值为负数的数。
六、有理数的加减法
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加;
(2)肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值;
(3)互为相反数的两数相加,和为零;
(4)一个数与零相加,仍得这个数。
(1)加法交换律:a+b=b+a
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,肯定要依据须要敏捷运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
(1)当b>0时,a+b>a
(2)当b<0时,a+b<a<p=>
(3)当b=0时,a+b=a
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
(1)在有理数加减法混合运算中,依据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再根据加法法则进行计算。
(2)在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
(3)和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”;
②按运算意义读作“负8减7减6加5”。
七、有理数的乘除法
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的状况,假如因数超过两个,就必需运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,假如其中有因数为0,则积等于0.
(1)乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·图片(a≠0),就是说a和图片互为倒数,即a是图片的倒数,图片是a的倒数。
(2)留意:
①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不变更这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).