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平行线
同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
若直线a与直线b平行,记作a∥b
基本特征:○1同一平面内
○2两条直线
○3不相交
定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
判断两条直线平行的方法:
○1同位角相等,两直线平行
○2内错角相等,两直线平行
○3同旁内角互补,两直线平行
定理:在同一平面内垂直于同一条直线的两直线相互平行。
例1证明:平行于同一条直线的两条直线相互平行
平行线的性质:
○1两直线平行,同位角相等
○2两直线平行,内错角相等
○3两直线平行,同旁内角互补
平行线的传递性:若a∥b,b∥c,则a∥c
平行线间的距离:任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离
例2∥ABD,BC,AD交于O,求证:S△AOC=S△BOD
例3已知AB∥DE,∠B=30,∠BCD=70,求∠CDE
例4若AB∥DE,∠ABC=120,∠CDE=150,求∠BCD
1
例5若∠E+∠G=∠B+∠F+∠D,则AB∥CD
例6已知AB∥DF,AC平分∠BAD,∠C=∠CEF,证明:AD∥BC
例7在同一平面内有2010条直线a1,a2,a3,„a2010。如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4
平行a5,„纳米a1与a2010de位置关系是()
(A)重合(B)平行或重合
(C)垂直(D)相交但不垂直
例8如果两个角的两边分别平行,且有一个角是另一个角的三倍少30度,那么这两个角
的度数分别为?
11
例9如果AB∥CD,∠EAF=EAB,ECFECD,那么∠AEC与∠AFC的大小关
44
系可用等式表示为?
例10直线a∥b,那么∠x等于?
2
180
例11已知平面上n条直线两两相交,求证:他们的交角中至少一个角不大于
n
例12求证:一直线与两平行线中的一条相交也必与另一条相交。
例13如图,已知AF∥CD,∠A=∠D,∠B=∠E,求证:BC∥EF
一、填空题:
1、如图1,若a∥b,∠1=50°,则∠2=____。
2、如图2,用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时,吸管与易拉罐上部夹角∠1=75°,则吸管与易
拉罐下部夹角∠2=____。
3、如图3,AB∥CD,∠1=70°,则∠2=____。
4、如图4,若AB∥EF,BC∥DE,∠B=40°,则∠E=_____。
c
AA
1FE
a1E
1AB
ED
2F
bCDB
22CBDC
图 4图 5
图 1图 2图 3
5、如图5,AD⊥BC于D,DE∥AC,则∠C与∠ADE之和为____。
6、如图6,已知AB∥EF∥CD,∠B=62°,∠D=28°,则∠BED=_____。
7、如图7,AB∥CD,CD平分∠ACD交AB于E,∠A=118°,则∠AEC=____。
8、如图8,AD∥EG∥BC,AC∥EF,则图中与∠1相等的角(不含∠1)有___个,若∠1
=50°,则∠AHG=____。
9、如图9,直线a∥b,∠1=28°,∠2=50°,则∠3=____。∠3+∠4+∠5=___。
3
A
EADa
AB41
ABH
E3C
E52
F1b
B
CDBFC
DC图 9
图 6图 7图 8
10、如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角的关系是________。
二、选择题:
11、若两条平行线被第三条直线所截得的八个角中,有一个角的度数已知,则()
A只能求出其余3个角的度数B只能求出其余5个角的度数
C只能求出其余6个角的度数D只能求出其余7个角的度数
12、如图,已知AB∥CD,EG平分∠FEB,若∠EFG=40°,则∠EGF=()
A60°B70°C80°D90°
13、设A、B、C是直线a上的三点,P为直线a外一点,若PA=2,E
AB
PB=3,PC=5,则点P到直线a的距离()
A等于2B小于2C不小于2D不大于2。
D
14、两条直线被第三条直线所截,则()CFG
AB
A同位角的邻补角相等B内错角的对顶角相等
C同位角一定不相等D两对同旁内角的和一定等于一个周角
15、如图,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()CD
A1个B2个C3个D4个(提示:三角形内角和为180°)
三、解答题:(每题10分,共40分)
16、如图,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2。求证:CD∥EF。(填空并在后面的括号中填理由)
证明:∵∠AGD=∠ACB()
A
∴DG∥____()
∴∠3=____()
GD
∵∠1=∠2()1
∴∠3=____(等量代换)E
∴___∥___()32
17、如图,已知∠1=∠C,∠2=∠3。BE是否平分∠ABC?为什么?CFB
A
1
DE
2
3
BC
18、如图,∠A=60°,DF⊥AB于F,DG∥AC交AB于G,DE
C
∥AB交AC于E。求∠GDF的度数。
1
解:∵DF⊥AB()ED
2
∴∠DFA=90°()
AGFB
4
∵DE∥AB()
∴∠1=___=__()
∠EDF=180°-∠DFA
=180°-90°=90°()
∵DG∥AC()
∴∠2=____=____()
∴∠GDF=
19、阅读:如图①,CE∥AB,∴∠1=∠A,∠2=∠B。∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B。
这是一个有用的事实,请用这个事实在图②的四边形ABCD内引一条和边平行的直线,
求出∠A+∠B+∠C+∠D的度数。
D
AEA
1
2
BCDBC
图 ①图 ②
一、选择题
aaaaaaaaaaaaa
,2,3,4,5,6,7七条直线,如果12,2∥3,34,
aaaaaaaa
4∥5,56,6∥7,那么1与7的关系为()
:①对顶角的两条角平分线是一条直线;②两条直线相交构成的两组对顶角的
角平分线互相垂直;③邻补角的两角平分线互相垂直;④如果两条直线平行,那么同位角的角
平分线互相平行。上述四个命题中,真命题的个数是()
,那么这两个角的关系是()
()
(1)当两条直线被第三条直线截成的8个角中,有一对同旁内角互补时,所有的同位角
都相等;
(2)两条直线被第三条直线所截,得到的同位角,内错角,同旁内角中有一对角都是直
角,那么这两条直线一定平行。
、、假B
5
、
,如图,将C角折起到E处,作∠EFB的平分线FH,则∠HFG的大
小是()
第5题图
,有三条直线a,b,c,如果a⊥c,b⊥c那么a与b的位置关系是()
,是假命题的是
,线段最短
,任意的两个角都是对顶角
,点D为BC的中点,若AD=5cm,则AC+AB为()
,OB⊥AE于O,OC、OD分别是∠AOB、∠BOE的平分线,图中互余的角共有()
对。
6
第9题图
,另一边互相平行,则这两个角的关系是()
。同一平面内的三条直线两两相交,可得到线段、射线的条数分别是()
第11题图
,6
,6
,12
,3或6,12
二、填空题
,则垂线段与斜线段的大小关系是__________。
,CD,EF交于点O,如图所示,∠AOC的对顶角是________,∠COB的对
顶角是___________,∠EOB的对顶角是__________。
7
第13题图第14题图
,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6中是同位角的有_________,是内错角的有________,
是同旁内角的有__________。
“等角的补角相等”改写成“如果„„那么„„”的形式:________________。
°,但不大于180°的角共有_________个,其中可画
出的锐角分别有_________。
三、解答题
:如图,AE是一条直线,O是AE上一点,OB、OD分别是∠AOC、∠EOC的平分线。
求证:OB⊥OD
第17题图
,AD⊥BC,EF⊥BC,∠AMD=104°,∠BAC=76°
求证:∠BEF=∠ADM
第18题图第19题图
19.(1)画图:(保留画图痕迹,不写作法)
①过C点作CD⊥AB,垂足为D;
②过D点作DE∥BC,交AC于E;
③取BC的中点G,作GF⊥AB,垂足为F。
8
(2)用量角器量一量∠CDE和∠BGF,它们相等吗?如果相等,请加以证明。(根据画图,
写出已知,求证和证明)
,已知直线AB、CD被直线EF所截,∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=90°.求证:
AB∥CD。
第20题图第21题图
:如图,AD∥BC。求证:∠B+∠C+∠BAC=180°。
:AD∥BC,DC∥BE,∠A=∠D。
求证:∠CBE=∠ABC。
第22题图
9