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高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
函数的定义域、值域(最大、最小值)
高考要求
掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、鉴识式法);掌握二次
函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法
求函数最大、最小值问题素来是高考热点,这类问题的出现率很高,应
用很广因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高
高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了反之,若
求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了
知识点归纳
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有
意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技术的熟练
1求函数解析式的题型有:
1)已知函数种类,求函数的解析式:待定系数法;
2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):换元法、配凑法;
3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另
个等式:解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
求函数定义域一般有三类问题:
1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值会集;
2)实责问题:函数的定义域的求清除要考虑解析式有意义外,还应试虑使实责问题有意义;
(3)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求
(x)的定义域:
①掌握基本初等函数(特别是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)
的定义域;
②若已知f(x)的定义域a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由
ag(x)b解出
求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法规和定义域共同决定的其种类依解析式的
特点分可分三类:(1)求常有函数值域;(2)求由常有函数复合而成的函数的
值域;(3)求由常有函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法:利用常有函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为R,值域为R;
反比率函数y
k(k
0)的定义域为{x|x0},值域为{y|y
0};
x
二次函数
(
)
2
(
0)的定义域为R,
f
ax
x
bxca
当a>0时,值域为{y|y
(4ac
b2)};
4a
当a<0时,值域为{y|y
(4ac
b2)}
4a
②配方法:转变为二次函数,利用二次函数的特点来求值;
常转变为
型如:f(x)ax2
bx
c,x(m,n)的形式;
③分式转变法(或改为“分别常数法”)
④换元法:经过变量代换转变为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转变为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转变为型如:yxk(k0),利用平均值不等
x
式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可依照函数的单调性求值域⑧数形结合:依照函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法(反求法):经过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,
经过解不等式,得出y的取值范围;常用来解,型如:y
ax
b,x(m,n)
cx
d
题型讲解
例1
已知函数f
x
定义域为(0,2),求以下函数的定义域:
(1)
f(x2)23;
(2)y
f(x2)1
log1(2x)
2
2
2
这两个函数复合而成的复合函
解析:x的函数f(x
)是由u=x与f(u)
数,其中x是自变量,u是中间变量由于f(x)
,f(u)是同一个函数,故(1)
为已知0<u<2,即0<x
2
<2求x的取值范围
解:(1)由0<x2
<2,
得
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
说明:本例(1)是求函数定义域的第二各种类,即不给出f(x)的解析式,
由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域要点在于理解复合函数的意义,用好换元法(2)是二各种类的综合
求函数定义域的第三各种类是一些数学问题或实责问题中产生的函数关系,求其定义域,后边还会涉及到
例2已知函数f(x)
1
x的定义域为A,函数y
f
fx
的定义
域为B,则
1
x
(A)AUBB
(B)A?B
(C)AB(D)AIBB
解:A
x|x
1,y
f[f(x)]
f(
1
x)f(1
2
)
1,
2
1
x
1
x
x
令1
1,故B
x|x1Ix|x0
1且x
1
x
∴B?A
AI
B
B,应采用D
例3求以下函数的值域
①y=3x+2(-1x1)②f(x)24x
x
④y
1
③y
x
x1
x
解:①∵-1x
1,∴-33x
3,
-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]
②∵4x[0,
)
∴f(x)
[2,
)
即函数f(x)
2
4
x的值域是{y|y
2}
x
x
1
1
1
③y
x
1
1
1
x1
x
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
1
0∴y1
1
即函数的值域是{y|yR且y1}(此法亦称分别常数法)
④当x>0,∴y
x
1
=(
x
1)2
2
2,
x
x
当x<0时,y
(
x
1
)=-(
x
1
)2
2
2
x
x
∴值域是(
,
2]
[2,+
)(此法也称为配方法)
y
1
2
1
函数y
的图像为:
fx
=x+x
x
-1
o
x
1
x
∴值域是(
,
2]
[2,+
)
-2
例4求以下函数的值域:
(1)y3x2
x
2;
(2)y
x2
6x5;(3)y
3x1;
x
2
(4)yx41
x;(5)yx
1x2;(6)y
|x1||x4|;
(7)y
2x2
x
2;(8)y
2x2
x1(x
1);(9)y
1
sinx
x2
x
1
2x1
2
2
cosx
解:(1)(配方法)Qy
3x2
x
2
3(x
1)2
23
23
,
的值域为[23,
6
12
12
∴y3x2
x
2
)
12
改题:求函数y
3x2
x2,x
[1,3]的值域
解:(利用函数的单调性)函数y
3x2
x
2在x
[1,3]上单调增,
∴当x
1时,原函数有最小值为
4;当x
3时,原函数有最大值为
26
∴函数y
3x2
x
2
,x
[1,3]的值域为[4,26]
(2)求复合函数的值域:
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
设
x2
6x
5(
0),则原函数可化为
y
又∵
x2
6x5
(x3)2
44,
∴0
4,故
[0,2],
∴y
x2
6x
5的值域为[0,2]
(3)(法一)反函数法:
y
3x
1的反函数为y
2x
1,其定义域为{x
R|x
3},
x
2
x
3
∴原函数y
3x
1的值域为{y
R|y
3}
x
2
(法二)分别变量法:y
3x
1
3(x
2)
7
3
7
,
x
2
x
2
x
2
∵
7
0,∴3
7
3
,
2
x
x
2
∴函数y
3x
1的值域为{y
R|y
3}
x
2
(4)换元法(
代数换元法):设t
1
x
0,则x
1
t2,
∴原函数可化为
y
1
t2
4t
(t
2)2
5(t0),∴y
5,
∴原函数值域为
(
,5]
说明:总结y
ax
b
cx
d型值域,变形:y
ax2
bcx2
d
或y
ax2
b
cx
d
(5)三角换元法:
∵1
x2
0
1
x
1,∴设x
cos
,
[0,
],
则y
cos
sin
2sin(
)
4
∵
[0,
],∴
[
,5
],∴sin(
)
[
2,1],
4
4
4
4
2
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
∴2sin(
)[1,2],
4
∴原函数的值域为[1,2]
2x3
(x
4)
(6)数形结合法:y|x1||x4|5
(4
x
1),
2x3(x1)
y5,
∴函数值域为[5,)
(7)鉴识式法:∵x2
x
1
0恒成立,∴函数的定义域为
R
由y
2x2
x
2
得:(y2)x
2
(y1)xy20
①
x2
x
1
①当y
2
0即y
2时,①即
3x
00,∴x0
R
②当y
2
0即y
2时,∵x
R时方程(y
2)x2
(y
1)xy20
恒有实根,
∴V(y1)2
4(y2)2
0,∴1y
5且y
2,
∴原函数的值域为[1,5]
2x2
x
1
x(2x
1)
1
1
1
1
1,
(8)y
x
x
2
2x
1
2x
1
2x
1
2
x
1
2
2
1
1
1
1
2(x1)
1
,∴x
0,∴x
2
2
2,
∵x
2
2
2
x
1
2(x
1)
2
2
1
1
1
2
当且仅当
2
时,即x
x
时等号成立
2
x
1
2
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
2
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
∴y
2
1
[
1
)
,∴原函数的值域为
2
,
2
2
(9)(法一)方程法:原函数可化为:
sinx
ycosx
1
2y,
∴1
y2sin(x
)
1
2y
(其中cos
1
y2
,sin
1
y
),
1
y2
∴sin(x
1
2y
[1,1],
)
y2
1
∴|12y|1y2,∴3y2
4y0,∴0
y
4,
4
3
∴原函数的值域为
[0,
]
3
例5求函数y
x2
5x
6的值域
x2
x
6
方法一:(鉴识式法)去分母得
(y1)x2
+(y+5)x
6y
6=0
①
当y
1时∵x
R
∴△=(y+5)2
+4(y
1)×6(y+1)0
由此得(5y+1)2
0
1
1
x
5
2(代入①求根)
检验
y
时
5
5
2
(6)
5
∵2
定义域{x|x
2且x
3}
∴y
1
5
再检验y=1代入①求得
x=2
∴y
1
综上所述,函数
y
x2
5x
6
{y|y
1
}
x2
x
的值域为
1且y
6
5
方法二:(分别常数法)把已知函数化为函数
(x
2)(x
3)
x
3
1
6
y
2)(x
3)
x
3
(x2)
(x
x
3
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
由此可得y1
∵x=2时y
1
即y
1
5
5
x2
5x
6
{y|y1且y
1
∴函数y
2
x
的值域为
}
x
6
5
例6(分段函数法及图像法)求函数y=|x+1|+|x-2|的值域解法1:将函数化为分段函数形式:
y
2x
1(x
1)
y
3(1
x
2),
3
2x
1(x
2)
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y3}
-1O2x
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
解法2:(几何法或图象法)∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到
两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+]
如图
x-1O12-1Ox12-1O12x
例7求函数y2x41x的值域
解:(换元法)设t
1
x
则t0
x=1
t2
代入得
y
f(t)
2(1
t2)
4t
2t2
4t2
2(t1)2
4
∵t
0
∴y
4
f(x)
x
1
log2(x
1)log2(p
x)
例8设函数
log2x
1
,
1)求函数的定义域;
2)问f(x)可否存在最大值与最小值?若是存在,请把它写出来;若是不存在,请说明原由
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
x
1
0
x
1
x
1
解:(1)由x
1
0,解得
①
x
p
p
x
0
当p
1
时,①不等式解集为
;
当p
1时,①不等式解集为
x|1
x
p,
∴f(x)的定义域为(1,p)(p
1)
(2)原函数即f(x)
log2[(x
1)(p
x)]
log2[(x
p1
)2
(p1)2
],
2
4
当p
1
1,即1
p
3时,函数f(x)既无最大值又无最小值;
2
当1
p
1
3
时,函数f(x)有最大值2log2(p
1)2,但无
p,即p
2
最小值
小结:关于二次函数
f(x)
ax2
bx
c(a
0),
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当x
b时,其最小值ymin
(4ac
b2
);
2a
4a
②当a<0时,则当x
b
(4ac
b2)
时,其最大值ymax
4a
2a
⑵若定义域为x
[a,b],则应第一判断其极点横坐标
x0
可否属于区间
[a,b]①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,
再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大(小)值②若x0[a,b],则[a,b]是在
f(x)的单调区间内,只需比较
f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)
值
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
(3)若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
(4)当极点横坐标是字母时,则应依照其对应区间特别是区间两端点的
地址关系进行谈论
利用方程思想来办理函数问题,一般称鉴识式法鉴识式法一般用于分
式函数,其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数可否为0的
谈论
求函数值域常用的一些方法(察见解、配方法、鉴识式法、图象法、换元法等),随着知识的不休学****和经验的不断积累,还如同不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,
同学们要经过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
法
学生练****br/>1函数f(x)
与g(x)=3
x的图象关于直线
y=x
对称,则函数
f(x
1)的定义域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
为
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
求以下函数的定义域:
(1)y=
3x
x2
;
(2)y=
25
x2
lncosx
|x1|
1
3
已知函数f(x)=
3
3x
1
的定义域为R,则实数a的取值范围是(
)
ax2
ax
3
Aa>1/3
B
12<a<0
C
12<a0
D
a1/3
4
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],
且a+b>0,求f(x2)的定义域;
(2)已知函数f(2x)的定义域为[1,2],
求f(log
2x)的定义域
5
已知函数f(x)
的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x
a),求函数g(x)的定义
域
6
设f(x)=log
2
x
1+log2(x
1)+log
2(px)
1
求函数f(x)的定义域;(2)f(x)可否存在最大值或最小值?若是存在,
请把它写出来;若是不存在,请说明原由
7某旅店有相同标准的床位
100张依照经验,当该旅店每张床的床价不高出
10元时,床位可以全部租出;当床价高于
10元时,每提高一元,将有
3张
床位悠闲为了获取较好的效益,该旅店要给床位定一个合适的价格,条件
是①为方便结算,床位应为
1元的整数倍;②该旅店每日的花销支出为
575
元,床位出租收入必定高于支出,而且高出得越多越好,若用
x表示床价,
用y表示该旅店一天出租床位的净收入
(即除去每日的支出花销后的收入)
,
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域
高考数学函数定义域值域