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,会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.
运用相关知识解决问题的能力.
自学指导阅读教材第113至114页,完成下列问题.
知识探究
底面和一个侧面围成的,连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的母线,连接顶点和底面圆心的线段叫圆锥的高.
扇形,其半径为圆锥的母线,弧长是圆锥底面圆的周长.
l,圆锥的高h,底面圆的半径r,存在关系式:l2=h2+r2,圆锥的侧面积S=πlr;圆锥的全面积S全=S底+S侧=πr2+πlr.
圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图扇形的弧长,由此设圆锥底面圆的半径为r,其侧面展开图扇形的半径为R,圆心角度数为n°,则可推得r、R、n、360之间存在的关系是:r=.
自学反馈
的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为12π.
,母线长为6cm,则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是
180°.
始终牢记圆锥侧面的弧长即为底面圆的周长.
,母线长为5cm,则圆锥的全面积是36πcm2.
πcm,高为3cm,那么它的全面积为36πcm2.
涉及圆锥的高时通常利用高、半径、母线构造直角三角形.
△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,将△ABC绕直角边旋转一周,求所得圆锥的侧面积?
解:20πcm2或15πcm2.
这里直角边分AC、BC两种情况.
活动1小组讨论
例1圆锥的侧面积是底面积的2倍,这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°.
例2圆锥的底面半径为10cm,母线长30cm,底面圆周上的蚂蚁绕侧面一周的最短长度是多少?
解:如图1,假设蚂蚁在图中点P处,将圆锥侧面从母线OA展开,如图2所示扇形,则P点在弧⊥OA于点B,连结OP,易知,蚂蚁绕侧面一周的最短的长度lmin=2BP.
图1图2
设扇形的圆心角为n°,则π×30×10=,解得n=120,即∠AOA′=
120°.则∠POB=∠AOA′=60°,∵OP=30cm,∴BP=15cm.∴lmin=2BP=30cm.
即最短长度为30cm.
蚂蚁绕侧面一周的长度指蚂蚁的起点和终点间的距离.
例3一个扇形,半径为30cm,圆心角为120度,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面半径为10cm.
例4一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆,求①圆锥的母线与底面半径之比;②锥角的大小;③圆锥的侧面积.
解:①2∶1;②60°;③18π.
由侧面展开图是半圆求出圆锥的母线与底面半径之比,再利用高构造直角三角形.
活动2跟踪训练
°,半径为2,则这个扇形的面积,S扇=π;已知扇形面积为π,圆心角为120°,则这个扇形的半径R=2.
半径为2的扇形,面积为π,则它的圆心角的度数=120°;已知半径为2cm的扇形,其弧长为π,则这个扇形的面积,S扇=πcm2;已知半径为2的扇形,面积为
π,则这个扇形的弧长=π.
,面积为20cm2,则扇形弧长为8cm.
°,弧长是28π,则扇形的面积为336π.
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活动3课堂小结
圆锥侧面展开图的有关计算的关键:侧面的弧长等于底面圆的周长.
教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.