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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、线性运算:加减法、数乘;
3、空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;


a(a,a,a)b(b,b,b)
4、利用坐标做向量的运算:设xyz,xyz,


ab(ab,ab,ab)a(a,a,a)
则,xyz;
xxyyzz
5、向量的模、方向角、投影:

rx2y2z2
1)向量的模:;
2)AB(xx)2(yy)2(zz)2
两点间的距离公式:
212121
3),,
方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
xyz
cos,cos,cos
4)方向余弦:
rrr
cos2cos2cos21


Prjaacos
5)au
投影:u,其中为向量与的夹角。
(二)数量积,向量积


ababcos
1、数量积:

2
aaa
1)


abab0
2)


abababab
xxyyzz


cab
2、向量积:


absina,b,c
大小:,方向:符合右手规则
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

aa0
1)


a//bab0
2)

ijk


abaaa
xyz
bbb
xyz


baab
运算律:反交换律
(三)曲面及其方程
S:f(x,y,z)0
1、曲面方程的概念:
2、旋转曲面:(旋转后方程如何写)
yozC:f(y,z)0
面上曲线,
yf(y,x2z2)0
绕轴旋转一周:
f(x2y2,z)0
z
绕轴旋转一周:
3、柱面:(特点)
F(x,y)0

F(x,y)0z
表示母线平行于轴,准线为的柱面
z0

4、二次曲面(会画简图)
x2y2
z2
1)椭圆锥面:a2b2
x2y2z2
1
2)椭球面:a2b2c2
x2y2z2
1
旋转椭球面:a2a2c2
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x2y2z2
1
3)*单叶双曲面:a2b2c2
x2y2z2
1
4)*双叶双曲面:a2b2c2
x2y2
z
5)椭圆抛物面:a2b2
x2y2
z
6)*双曲抛物面(马鞍面):a2b2
x2y2
1
7)椭圆柱面:a2b2
x2y2
1
8)双曲柱面:a2b2
x2ay
9)抛物柱面:
(四)空间曲线及其方程
F(x,y,z)0


1、一般方程:
G(x,y,z)0

xx(t)xacost


yy(t)yasint
2、参数方程:,如螺旋线:

zz(t)zbt

3、空间曲线在坐标面上的投影
F(x,y,z)0H(x,y)0


zxoy
,消去,得到曲线在面上的投影
G(x,y,z)0z0

(五)平面及其方程(法向量)
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A(xx)B(yy)C(zz)0
1、点法式方程:
000

n(A,B,C)(x,y,z)
法向量:,过点
000
AxByCzD0
2、一般式方程:(某个系数为零时的特点)
xyz
1
截距式方程:abc

n(A,B,C)n(A,B,C)
3、两平面的夹角:,,
11112222
AABBCC
cos121212
A2B2C2A2B2C2
111222
AABBCC0
12121212
ABC
//111
12ABC
222
P(x,y,z)AxByCzD0
4、点0000到平面的距离:
AxByCzD
d000
A2B2C2
(六)空间直线及其方程(方向向量)
AxByCzD0
1111
1、
一般式方程:
AxByCzD0

2222
xxyyzz
000
2、对称式(点向式)方程:
mnp

s(m,n,p)(x,y,z)
方向向量:,过点
000
xxmt
0


yynt
3、参数式方程:0

zzpt

0

s(m,n,p)s(m,n,p)
4、两直线的夹角:,,
11112222
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mmnnpp
cos121212
m2n2p2m2n2p2
111222
LLmmnnpp0
121212
12
mnp
L//L111
12mnp
222
5、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,
AmBnCp
sin
A2B2C2m2n2p2
L//AmBnCp0
ABC
L
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
zf(x,y)
2、多元函数:,图形,定义域:
limf(x,y)A
3、极限:
(x,y)(x,y)
00
limf(x,y)f(x,y)
4、连续:00
(x,y)(x,y)
00
5、偏导数:
f(xx,y)f(x,y)
f(x,y)lim0000
x00
x0x
f(x,yy)f(x,y)
f(x,y)lim0000
y00
y0y
6、方向导数:
fff
coscos,l
其中为的方向角。
lxy

zf(x,y)gradf(x,y)f(x,y)if(x,y)j
7、梯度:,则。
00x00y00
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zz
dzdxdy
zf(x,y)
8、全微分:设,则xy
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
1
2
偏导数存在
偏导数连续函数可微
必要条件
充分条件
4
2
定义
3
函数连续
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
ux
1)定义:
z
2)复合函数求导:链式法则
vy
zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)
若,则
zzuzvzzuzv

,
xuxvxyuyvy
3)隐函数求导:,然后解方程(组),
(三)应用
1、极值
zf(x,y)
1)无条件极值:求函数的极值
f0
x

(x,y)
解方程组f0求出所有驻点,对于每一个驻点,令
00

y
Af(x,y)Bf(x,y)Cf(x,y)
,,,
xx00xy00yy00
ACB20A0
①若,,函数有极小值,
ACB20A0
若,,函数有极大值;
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ACB20
②若,函数没有极值;
ACB20
③若,不定。
zf(x,y)(x,y)0
2)条件极值:求函数在条件下的极值
L(x,y)f(x,y)(x,y)
令:———Lagrange函数
L0
x


L0
解方程组y

(x,y)0

2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
xx(t)


:yy(t)
M(x,y,z)t
曲线,则上一点(对应参数为)处的
0000
zz(t)

xxyyzz
000
切线方程为:x(t)y(t)z(t)
000
x(t)(xx)y(t)(yy)z(t)(zz)0
法平面方程为:000000
2)曲面的切平面与法线
:F(x,y,z)0M(x,y,z)
曲面,则上一点处的切平面方程为:
000
F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)F(x,y,z)(zz)0
x0000y0000z0000
xxyyzz
000
法线方程为:F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)
x000y000z000
第十章重积分
(一)二重积分
n
f(x,y)dlimf(,)
1、定义:kkk
0
Dk1
2、性质:(6条)
3、几何意义:曲顶柱体的体积。
4、计算:
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1)直角坐标
(x)y(x)
D(x,y)12

X型区域:,
axb

b(x)
f(x,y)dxdydx2f(x,y)dy
a(x)
1
D
(y)x(y)
D(x,y)12

Y型区域:,
cyd

d(y)
f(x,y)dxdydy2f(x,y)dx

c(y)
1
D
*交换积分次序(课后题)
2)极坐标
()()
D(,)12




()
f(x,y)dxdyd2f(cos,sin)d
()
1
D
(二)三重积分
n
f(x,y,z)dvlimf(,,)v
1、定义:kkkk
0
k1
2、性质:
3、计算:
1)直角坐标
z(x,y)
f(x,y,z)dvdxdy2f(x,y,z)dz
-----------投影法“先一后二”
Dz(x,y)
1
b
f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy
-----------截面法“先二后一”
aD
Z
2)柱面坐标
xcos


ysin

f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz
,

zz

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3)*球面坐标*
xrsincos


yrsinsin


zrcos

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

(三)应用
S:zf(x,y),(x,y)D
曲面的面积:
zz
A1()2()2dxdy
Dxy
第十一章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
n
f(x,y)dslimf(,)s
1、定义:iii
L0
i1
2、性质:
[f(x,y)(x,y)]dsf(x,y)dsg(x,y)ds.
1)
LLL
f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.(LLL).
2)
LLL12
12
f(x,y)g(x,y)f(x,y)dsg(x,y)ds.
L
3)在上,若,则
LL
dsl
4)(l为曲线弧L的长度)
L
3、计算:
x(t),

(t)
f(x,y)LL
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中
y(t),

(t),(t)[,]2(t)2(t)0
在上具有一阶连续导数,且,则

f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt,()
L
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(二)对坐标的曲线积分
xoyP(x,y)Q(x,y)
1、定义:设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上有界,
n
P(x,y)dxlimP(,)x
定义kkk,
L0
k1
n
Q(x,y)dylimQ(,)y
kkk.
L0
k1

FdrP(x,y)dxQ(x,y)dy
向量形式:
LL
2、性质:

F(x,y)drF(x,y)dr
LL
用表示的反向弧,则
LL
3、计算:
P(x,y),Q(x,y)LL
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
x(t),

(t:)(t),(t)[,]
,其中在上具有一阶连续导数,且
y(t),

2(t)2(t)0
,则

P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
L
4、两类曲线积分之间的关系:
x(t)

L:L(x,y)
,
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,
y(t)

(t)(t)
coscos
,,
2(t)2(t)2(t)2(t)
PdxQdy(PcosQcos)ds
则.
LL
(三)格林公式
DLP(x,y),Q(x,y)
1、格林公式:设区域是由分段光滑正向曲线围成,函数在
QP
dxdyPdxQdy

D上具有连续一阶偏导数,则有xy

DL
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GP(x,y),Q(x,y)
G
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则
QP
PdxQdy
G
曲线积分在内与路径无关
xy
L
ÑPdxQdy0

曲线积分
L
P(x,y)dxQ(x,y)dyGu(x,y)
在内为某一个函数的全微分
(四)对面积的曲面积分
1、定义:
f(x,y,z)
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
n
f(x,y,z)dSlimf(,,)S
定义iiii
0
i1
2、计算:———“一单值显函数、二投影、三代入”
:zz(x,y)(x,y)D
,,则
xy
f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdy
xy
D
xy
(五)对坐标的曲面积分
1、预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
2、定义:
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义
n
R(x,y,z)dxdylimR(,,)(S)
iiiixy
0
i1
n
P(x,y,z)dydzlimP(,,)(S)
同理,iiiiyz
0
i1
n
Q(x,y,z)dzdxlimR(,,)(S)
iiiizx
0
i1
3、性质:

1),则
12
PdydzQdzdxRdxdy

PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy

12
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RdxdyRdxdy

2)表示与取相反侧的有向曲面,则

4、计算:——“一投二代三定号”
:zz(x,y)(x,y)Dzz(x,y)DR(x,y,z)
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连
xyxy
R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy

续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-
D
xy
”.
5、两类曲面积分之间的关系:

PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

,,(x,y,z)

其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
(六)高斯公式
1、P,Q,R
高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上
有连续的一阶偏导数,则有
PQR
dxdydzPdydzQdzdxRdxdy

xyz
PQR

dxdydzPcosQcosRcosdS
或
xyz


2、*通量与散度*

A(P,Q,R)PdydzQdzdxRdxdy
通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:


PQR
divA
散度:
xyz
(七)*斯托克斯公式*
1、斯托克斯公式:设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
RQPRQP
dydzdzdxdxdyPdxQdyRdz

yzzxxy

为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
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dydzdzdxdxdy

PdxQdyRdz
xyz

PQR
2、*环流量与旋度*

A(P,Q,R)PdxQdyRdz
环流量:向量场沿着有向闭曲线的环流量为

RQPRQP
rotA,,
旋度:
yzzxxy

第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1、定义:

uuuuu
1)无穷级数:n123n
n1
n
Suuuuu
部分和:nk123n,
k1

u
u0
正项级数:n,
n
n1

(1)nu
u0
交错级数:n,
n
n1

limSSuu
2)级数收敛:若n存在,则称级数收敛,否则称级数发散
nn
n
n1n1

uu
3)条件收敛:收敛,而发散;
nn
n1n1

u
绝对收敛:n收敛。
n1
2、性质:
1)改变有限项不影响级数的收敛性;


(ab)
ab
2)级数,收敛,则nn收敛;
nn
n1n1n1
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
a
3)级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
n
n1

u
limu0
4)必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)
nn
n
n1
3、审敛法

u
u0
正项级数:n,
n
n1
limSS
1)定义:n存在;
n

u
2)S
n收敛有界;
n
n1

uvuv(n1,2,3,)
3)比较审敛法:,为正项级数,且
nnnn
n1n1

vuuv
若收敛,则收敛;若发散,则发散.
nnnn
n1n1n1n1

mnmukv
uv
4)比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,,而
nnnn
n1n1

mnmukv
vuvu
n收敛,则n收敛;若存在正整数,当时,nn,而n发散,则n发
n1n1n1n1
散.
u

limnl(0l)
uvv
5)比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收
nnnvn
n1n1nn1
uu

limn0limn
uvu
敛,则收敛;若或,而发散,则发散.
nnvnvnn
n1nnn1n1
u

limn1l
ul1ul1
6)比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,
nnun
n1nn1

uu
l1
级数n发散;当时,级数n可能收敛也可能发散.
n1n1

ulimnulu
l1l1
7)*根值法:为正项级数,设n,则当时,级数收敛;则当时,
nn
n
n1n1

uu
l1
级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
nn
n1n1
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
ulimnu0limnuu
8)极限审敛法:为正项级数,若n或n,则级数发散;若
nn
nn
n1n1

p1limnpul(0l)u
存在,使得,则级数收敛.
nn
n
n1
交错级数:

(1)nuuu(n1,2,3,)
u0
莱布尼茨审敛法:交错级数:n,满足:n1n,且
n
n1

limu0(1)nu
n,则级数收敛。
n
n
n1
任意项级数:

uu
n绝对收敛,则n收敛。
n1n1
收敛,q1

aqn

常见典型级数:几何级数:
n0发散,q1

收敛,p1
1


p-级数:np
发散,p1
n1
(二)函数项级数

u(x)
1、定义:函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;
n
n1

n
ax
2、幂级数:n
n0
1
,0




aR0,

limn1
收敛半径的求法:,则收敛半径
na
n,0


3、泰勒级数
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f(n)(x)(n1)
f()
f(x)0(xx)n
limR(x)lim(xx)n10
0n0
n!nn(n1)!
n0
展开步骤:(直接展开法)
f(n)(x),n1,2,3,
1)求出;
f(n)(x),n0,1,2,
2)求出;
0
f(n)(x)
0(xx)n
3)写出0;
n!
n0
f(n1)()
limR(x)lim(xx)n10
4)验证n0是否成立。
nn(n1)!
间接展开法:(利用已知函数的展开式)
1
exxn,x(,)
1);
n!
n0
1
n12n1
sinx(1)x,x(,)
2)(2n1)!;
n0
1
cosx(1)n1x2n,x(,)
3)(2n)!;
n0
1
xn,x(1,1)
4)1x;
n0
1
(1)nxn,x(1,1)
5)1x
n0
(1)n
ln(1x)xn1,x(1,1]
6)n1
n0
1
(1)nx2n,x(1,1)
7)1x2
n0
m(m1)(mn1)
(1x)m1xn,x(1,1)
8)n!
n1
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4、*傅里叶级数*
1)定义:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx
正交系:函数系中任何不同的两个函数的乘积
[,]
在区间上积分为零。
a
f(x)0(acosnxbsinnx)
傅里叶级数:nn
2
n1
1
af(x)cosnxdx(n0,1,2,)
n


系数:
1
bf(x)sinnxdx(n1,2,3,)
n

2)收敛定理:(展开定理)
设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2)在一个周期内只有有限个极值点,
则f(x)的傅里叶级数收敛,且有
f(x),x为连续点
a

0acosnxbsinnx
nnf(x)f(x)
2
n1,x为间断点
2
3)傅里叶展开:
1
af(x)cosnxdx(n0,1,2,)
n
