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六、自测练习题提示与解答
重积分
由已給积分次序写出所给二重积分的积分区域D的不等式组表达式,画出D的图形,改变积分次序得:
此题直接积分无法求解,应先改换积分次序得:
原式=
=
=
,积分区域关于x轴上下对称,利用极坐标有:
原式=
,画出积分区域的图形,知选项(D)正确.
11.
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:原式=
,原式=.
=
令时,时,
所以
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,对第二个积分式,用曲线将积分区域分为两部分,在这两部分上分别利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性有:
而
所以原式
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原式
.
.
原式
.
原式
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24.(柱面坐标)
-6-
(答案有误)
,只需计算第一卦限的球面内那部分柱面的面积,然后4倍即可.
依题意有则有
由可得则有
所以面积为:
曲线积分
原式
应填
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.
.
原式
,原式=(由重积分对称性和奇偶性)
应填
.
原式
,原式
-8-
,
原式
,b的取值,①当原点不包含在L所限定区域内时,②当原点包含在L所限定区域内时,③当原点在L上时,原积分无意义
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=原式
45.
由于对称性,所以重心坐标为
48.
.
,