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(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
①y=lgx;②y=2x;③y=x2;④y=|x|-1,其中有2个零点的函数是()
A.①②B.③④C.②③D.④
考点函数零点的概念
题点判断函数的零点个数
答案D
解析分别作出这四个函数的图像(图略),其中④y=|x|-1的图像与x轴有两个交点,即有2个零点,故选D.
=(x-1)(x2-2x-3)的零点为()
,2,,-1,3
,-1,-
考点函数零点的概念
题点求函数的零点
答案B
解析令y=0,即(x-1)(x2-2x-3)=0,解得x1=1,x2=-1,x3=.
|x2-3|=a的解的个数为m,则m不可能等于()
考点函数的零点与方程根的关系
题点判断函数零点的个数
答案A
解析在同一坐标系中分别画出函数y1=|x2-3|和y2=a的图像,如图所示.
可知方程解的个数为0,2,3或4,不可能有1个解.
(x)=2x+x-5,则f(x)的零点所在的区间为()
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
考点函数零点存在性定理
题点判断函数零点所在的区间
答案C
解析f(0)=20-5<0,f(1)=21+-5<0,f(2)=22+-5<0,f(3)=8+-5>0,f(4)>0,则有f(2)·f(3)<.
(x)=alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是()
<-3B.-<a<-
C.-3<a<-D.-<a<-
考点函数零点存在性定理
题点与函数零点有关的参数取值范围问题
答案C
解析∵函数y=log2x,y=4x在其定义域上是增加的,∴函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间上单调且连续,∴由零点存在性定理可得f·f(1)<0,即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得-3<a<-.
、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=x-x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为()
考点函数模型的综合应用
题点函数模型的综合应用
答案B
解析依题意,可设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆,故总利润S=x-x2+2(15-x)=-x2+x+30(0≤x≤15),∴对称轴为直线x=,又x∈N+,∴当x=10时,Smax=.
%的盐水中,加入y克b%(a≠b)的盐水,浓度变为c%,将y表示成x的函数关系式为()
==x
==x
考点函数模型的应用
题点一次、二次函数模型的应用
答案B
解析根据配制前后溶质不变,有等式a%x+b%y=c%(x+y),即ax+by=cx+cy,
故y=x.
,在某个区间(x0,+∞)内随x增大而增长速度最快的是()
==x2017
==2017·2x
考点三种函数模型增长的差异
题点三种函数模型增长的差异
答案C
解析当x>x0时,指数型函数增长速度呈“爆炸式”增长,又e>2,∴增长速度最快的是y=.
,如下表所示:
x
1
2
3
4
5
y
3
5
11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的是()
考点函数拟合问题
题点据实际问题选择函数模型
答案C
解析由表中数据知随着自变量每增加1,函数值约增加2,所以一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.
%的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10***称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg2≈0,lg3≈1)()
考点建立函数模型解决实际问题
题点指数函数模型
答案C
解析操作次数为n时的浓度为n+1,
由n+1<10%,得n+1>=≈,
∴n≥21.
+3x-3=0在区间(0,1)内的根(精度为)可以是(参考数据:3=875,3=14)()
.
.
考点用二分法求方程的近似解
题点用二分法求方程的近似解
答案C
解析令f(x)=2x3+3x-3,f(0)<0,f(1)>0,f()<0,f()>0,f()<0,
∴方程2x3+3x-3=0的根在区间(,)内,
∵-|=,
∴区间(,)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意.
、跌停制度,即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停,后两日每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是()
%%
%%
考点建立函数模型解决实际问题
题点建立函数模型解决实际问题
答案A
解析设四天前股价为a,则现在的股价为a×2×2=1a,%.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
=x2与函数y=xlnx在区间(1,+∞)上增长较快的一个是________.
考点三种函数模型增长的差异
题点三种函数模型增长的差异
答案y=x2
解析y=x2=x·x,y=x·lnx,其中y=x比y=lnx在(1,+∞)上增长较快,也可取特殊值验证.
(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
考点函数零点的综合应用
题点函数零点的个数问题
答案(0,2)
解析由函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点可得|2x-2|=b有两个不等的根,从而可得函数y=|2x-2|与函数y=b的图像有两个交点,结合函数的图像可得0<b<<b<2.
(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且一个零点是2,则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
考点函数零点的综合应用
题点函数零点的综合应用
答案(-2,2)
解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2,则还有一个零点为-(x)在(-∞,0]上是减函数,则f(x)<0的x的取值范围是(-2,2).
(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=给出下列四个命题:
①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若0<m<n<1,则有F(m)-F(n)<0成立;④当a>0时,函数y=F(x)-.
考点函数零点的综合应用
题点函数零点的综合应用
答案②③④
解析易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;②∵F(x)=f(|x|),∴F(-x)=F(x),∴函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若0<m<n<1,则F(m)-F(n)=-alog2m+1-(-alog2n+1)=a(log2n-log2m)<0;④当a>0时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x||+1=2,即|log2|x||=,故|x|=2或|x|=2,故函数y=F(x)-2有4个零点,故②③④正确.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)讨论方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的存在性,并说明理由.
考点函数零点存在性定理
题点判断函数在区间是否有零点
解令f(x)=4x3+x-15,
∵y=4x3和y=x在[1,2]上都为增函数,
∴f(x)=4x3+x-15在[1,2]上为增函数,
∵f(1)=4+1-15=-10<0,
f(2)=4×8+2-15=19>0,
∴f(x)=4x3+x-15在[1,2]上存在一个零点,
∴方程4x3+x-15=0在[1,2]内有一个实数解.
18.(12分)已知函数f(x)=x|x-4|-5,当方程f(x)=a有3个根时,求实数a的取值范围.
考点函数零点存在性定理
题点与函数零点有关的参数取值范围问题
解f(x)=x|x-4|-5=在平面直角坐标系中画出该函数的图像,
由图可得当直线y=a与该函数的图像有3个交点时,a的取值范围是-5<a<-1.
19.(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过15万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的10%(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式;
(2)如果业务员老张获得万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?
考点函数模型的应用
题点分段函数模型的应用
解(1)由题意,得y=
(2)∵当x∈(0,15]时,x≤,
又y=,∴x>15,
∴+2log5(x-14)=,解得x=39.
答老张的销售利润是39万元.
20.(12分)已知函数f(x)=mx2-3x+1的零点至少有一个大于0,求实数m的取值范围.
考点一元二次方程根的分布
题点区间根问题综合
解①当m=0时,由f(x)=0得x=,符合题意,
②当m≠0时,
(ⅰ)由Δ=9-4m=0,得m=,
令f(x)=0解得x=,符合题意;
(ⅱ)Δ>0,即9-4m>0时,m<.
设f(x)=0的两根为x1,x2且x1<x2,
若0<m<,则x1+x2=>0,x1·x2=>0,
即x1>0,x2>0,符合题意,
若m<0,则x1+x2=<0,x1·x2=<0,
即x1<0,x2>0,符合题意.
综上m≤,即m的取值范围为.
21.(12分)对于实数a和b,定义运算“*”:
a*b=
设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R),恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,求x1x2x3的取值范围.
考点函数零点存在性定理
题点与函数零点有关的参数取值范围问题
解当x≤0,即2x-1≤x-1时,则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x,当x>0,即2x-1>x-1时,则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,画出大致图像如图,
可知当m∈时,f(x)=m恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,其中
x2,x3是方程-x2+x-m=0的根,x1是方程2x2-x-m=0的一个根,则x2x3=m,x1=,所以x1x2x3=,显然,该式随m的增大而减小,
因此,当m=0时,(x1x2x3)max=0;
当m=时,(x1x2x3)min=.
由以上可知x1x2x3的取值范围为.
22.(12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时,(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y=m·f(x),其中f(x)=
(1)若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂,6个小时后再服用m个单位的药剂,要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗,试求m的最小值.
考点函数模型的综合应用
题点函数模型的综合应用
解(1)因为m=3,所以y=
当0≤x<6时,由≥2,解得x≤11,此时0≤x<6;当6≤x≤8时,由12-≥2,解得x≤,此时6≤x≤.综上所述,0≤x≤.
故若一次服用3个单位的药剂,则有效治疗的时间可达小时.
(2)方法一当6≤x≤8时,y=2×+m=8-x+,因为8