第4章 矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮.ppt

文档介绍：第4章、矩阵的分解
Matrix Factorization and position
矩阵分解的概述
矩阵的分解:
A=A1+A2+…+Ak 矩阵的和
A=A1A2 …Am 矩阵的乘积
矩阵分解的原则:
实际应用的需要
理论上的需要
计算上的需要
显示原矩阵的某些特性
矩阵化简的方法之一
主要技巧:
各种标准形的理论和计算方法
矩阵的分块
常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形
相似标准形
合同标准形
本节分解:
三角分解
满秩分解
可对角化矩阵的谱分解
AT=A
相似标准形
等价标准形
LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解:AFnn, 存在下三角形矩阵L ,上三角形矩阵U ,使得A=LU。
Application: 可以简化求解线性方程的算法
QR分解
1. 利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解
Theorem 设矩阵ACmn ,R(A)=n(列满秩)。则存在非奇异上三角阵R,和矩阵Q,QHQ=E,使得A=QR。
Remark: 这样的分解称之为QR分解。
Application: 可以求最小二乘解
实施步骤
G-S正交化
单位化
QR分解
例 P090
此例中矩阵是列满秩的
例 P091
此例表明即使矩阵不是列满秩的,也可以用G-S正交化方法,但是其QR分解不是唯一的。
QR分解
对于一般的方阵,无论其是否列满秩,都可以利用Householder方法得到QR分解。

例 P095
满秩分解
矩阵的满秩分解
对秩为r 的矩阵AFmn ,存在秩为r的矩阵 B Fmr,CFrn ,使得A=BC为A 的满秩分解。
列满秩
行满秩
已知的结论
满秩分解的实现:向量组最大无关组的求法
例求矩阵A的满秩分解