文档介绍：第一部分微分方程
一、可分离变量法
。
解:分离变量:,两边积分:,得方程的通解为:。初始条件,则,所求特解:或.
例2.
解:令,,则故, 得
二、齐次方程
。
解:~~齐次微分方程,代换,,,~~可分离变量的微分方程;

;即原方程的通解:。利用初始条件,可得,所求特解为:。
三、一阶线性微分方程
例4.
解首先观察此类方程:一阶,线性非齐次方程所以有, 则。
全微分方程:
如果一阶微分方程写为,且存在可微函数,使得,则称为全微分方程,此时方程可以改写为:,即,或即为全微分方程的通解。
判断是否为全微分方程,关键在于是否是某函数的全微分,即是否有:。
例5. 求解微分方程:。
解:,,且,,即在平面内处处成立,故此方程为全微分方程。
⑴
所以,方程的通解为:;
⑵,,则,求导得:,比较可得:
,故,从而方程的通解:;
⑶分项组合凑微分法:方程,可以写为:则即
四、可降阶的高阶微分方程
,,特解。
令, 。
令,
。
解:方程中不显含“”,属于型,故代换:,,则原方程变为:,或;
⑴若,即,方程的解为:;
⑵若,则~~~可分离变量的微分方程,,,,,,即;
,,积分得:,,,所以原方程的通解:(方程的解含于其中)。
例6. 解(法1)令, 代入方程或(舍不符合初值)积分
即代初值代初值
解(法2) 代初值,, , 代初值
。
解:注意到:,故原方程可以写为:,或,,,;即,。积分得:,通解为:。
。
解:⑴属于型,代换:,,则
,,,,,,,,或
⑵属于型,代换:,,则, ,,,...
⑶,,,~~~~一阶线性微分方程
~~~~通解
五、(一)二阶线性齐次微分方程(*)的解的结构
定理1、设是线性齐次方程(*)的解,则对任意常数,也是方程(*)的解。
定理2、设,是二阶线性齐次微分方程(*)的解,则对任意常数,,线性组合也是方程(*)的解。
注:由定义不难得出,函数线性相关的充要条件是,其中是常数;线性无关的充要条件是,或。
定理3、设是线性齐次方程(*)的两个线性无关的解,则是方程(*)的通解,其中是两个独立的任意常数。
(二)二阶线性非齐次微分方程(**)解的结构
定理4、若是线性齐次方程(*)的通解,是线性非齐次方程(**)的一个解,则是线性非齐次方程(**)的通解。
例已知的三个特解为试求特解。
解非齐次方程的任两个特解之差是齐次方程特解,
故是齐次方程的解,且线性无关,故是非齐次方程通解。
代入初值,则从而特解为。
六、(一)二阶常系数线性齐次微分方程:,其中为常数
总结:
特征方程
微分方程
特征根、
通解形式
实根
共轭复根
实根
(二)二阶常系数线性非齐次微分方程求解
1.,是一个次的多项式
步骤:①写出特征方程,求出特征根;
②根据是否特征根,是单根还是重根确定的值(0,1,2),写出方程的一个解的形式:;
③将代入方程,确定,求得方程的一个解。
2.,或
注意到欧拉公式,则,因此不论是上面的哪一个方程,都应该首先转化为方程:求解,而方程的一个特解形如,其中,如果不是特征根,;如果是特征根,;是与相同次数的待定系数的多项式。
练习题:
1求通解:; 。微分方程的通解;xy′=xsinx-y
2求;;的通解。
3求微分方程;的通解。
4求通解: ; ;
5求微分方程的通解。
解:对应的齐次方程为:特征方程:且非齐次方程的一个特解为: 所以通解为:
6的通解为
7设满足,求函数。
解:方程两边求导数,得,;记,则,且,通解为

由,得,,即。
第二部分多元微分学
一、多元函数求极限
。
解:,;
练习一、求下列二元函数的极限1. 2. 3. 4. 5.
因为:1. 所以;
2.
3.:,故,而所以由夹逼准则,
4. 5.
练习二、证明极限不存在。
证:取(),则此值与有关即上述极限与的路径有关,从而极限不存在。
二、偏导数定义
三、全微分定义()则
定理1、设在点可微,则在点其偏导数一定存在,且,
定理2、设函数在点的一阶偏导数存在且一阶偏导数连续,则函数在点可微。
定理3、(链导规则)设,在点的偏导数存在,而在相应的点偏导数连续,则复合函数在点有连续的一阶偏导数,且
或
全微分的形式不变性设函数一阶偏导数连续,则一定可微。即
练习题:
1.;,求. 2.;,求. 3.,求.