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高中数学基本不等式知识点归纳及练****题
高中数学基本不等式知识点归纳及练****题
高中数学基本不等式的巧用
a+b
:ab≤2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
2+b2
≥2ab(a,b∈R);(2)b+a≥2(a,b同号);(3)ab≤a+b2
,∈
R)
;
(1)a
ab
2
(ab
(4)
a2+b2
≥
a+b2
(a,b∈R).
2
2
a+b
设a>0,b>0,则a,b的算术均匀数为2,几何均匀数为ab,基本不等式可表达为两个
正数的算术均匀数大于或等于它的几何均匀数.
已知x>0,y>0,则
(1)假如积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2
p.(简记:积定和最小)
p2
(2)假如和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是4.(简记:和定积最大)
一个技巧
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,比方
a2+b2≥2ab逆用就是
2+b2
a
+
b
+
b2
ab≤
a
a
2
;
2
≥
ab(a,b>0)逆用就是ab≤
(a,b>0)“添、拆项”
2
技巧和公式等号成立的条件等.
两个变形
a2+b2
a+b2
≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号);
(1)
2
≥
2
2+b2
+
a
ab
(2)
2
≥2
≥ab≥121(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
a+b
这两个不等式链用途很大,注意掌握它们.
三个注意
(1)使用基本不等式求最值,其失误的真切原由是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽
数学
高中数学基本不等式知识点归纳及练****题
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,这三个条件缺一不行.
(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
应用一:求最值
例1:求以下函数的值域
2
1
1
(1)y=
3x
+2x2
(2)y=x+x
解题技巧:
技巧一:凑项
例1:已知x
5
,求函数y
4x
2
1
的最大值。
4
4x
5
技巧二:凑系数
时,求y
x(8
2x)的最大值。
技巧三:分别
x2
7x
10
1)的值域。
x1
(x
。
技巧四:换元
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的状况,应结合函数
f(x)
a
的单调性。
x
x
例:求函数y
x2
5
的值域。
x2
4
,并求获得最小值时,
x的值.
(1)y
x2
3x
1,(x
0)
(2)y
2x
1
,x
3
(3)y
2sinx
1,x
(0,)
x
x
3
sinx
1,求函数y
x(1
x)的最大值
.;
x
2
yx(2
3x)的最大值.
,求函数
3
条件求最值
b
2
,则3a
3b的最小值是
.
变式:若log4
x
log4
y2,求
1
1
x
,y的值
y
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,不然就会出错。
。
2:已知x0,y
0,且1
9
1,求x
y的最小值。
x
y
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高中数学基本不等式知识点归纳及练****题
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数学
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变式:(1)若x,y
R
且
2x
y
1,求1
1的最小值
x
y
(2)已知a,b,x,y
R
且a
b
1,求x
y的最小值
x
y
技巧七、已知
x,y为正实数,且
x2+y2=1,求x
1+y
2的最大值.
2
1
技巧八:已知
a,b为正实数,
2b+ab+a=30,求函数y=ab的最小值.
技巧九、取平方
5、已知,
为正实数,3+2
=10,求函数
=3
x
+
2
的最值.
xy
x
y
W
y
应用二:利用基本不等式证明不等式
,b,c为两两不相等的实数,求证:
a2
b2
c2
ab
bc
ca
1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1
-c)≥8abc
例6:已知a、b、c
R,且a
b
c
1。求证:
1
1
1
1
1
1
8
a
b
c
应用三:基本不等式与恒成立问题
例:已知x0,y0且191,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。
xy
应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若ab1,Plgalgb,Q
1(lgalgb),R
lg(ab),则P,Q,R的大小关系是.
2
2
2
1
2
1
解:(1)y=3x
+2x2≥2
3x
·2x2=
6∴值域为[6
,+∞)
1
1
=2;
(2)当x>0时,y=x+≥2
x·
x
x
1
1
1
当x<0时,y=x+x=-(-x-x
)≤-2x·x
=-2
∴值域为(-∞,-
2]∪[2,+∞)
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数学
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解:因4x
1
不是常数,所以对4x
2要进行拆、凑项,
50,所以第一要“调整”符号,又(4x2)
4x
5
5
,54x0,
1
54x
1
231
x
y4x2
3
4
4x5
5
4x
当且仅当5
4x
1
,即x1时,上式等号成立,故当
x1时,ymax1。
4x
5
评注:此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
分析:由知,,利用基本不等式求最值,一定和为定值或积为定值,此题为两个式子
积的形式,但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值,故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,yx(82x)的最大值为8。
评注:此题没法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可获取和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。
分析一:此题看似没法运用基本不等式,不如将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分别。
当
,即
时,y
2(x
1)
4
59(当且仅当x=1时取“=”号)
1
x
分析二:此题看似没法运用基本不等式,可先换元,令
t
=+1,化简原式在分别求最值。
x
y
2
)
=t
2
5t
4
t
4
5
(t1)7(t
1+10
t
t
t
当
,即t=
时,
y2
t
4
5
9
(当t=2即x=1时取“=”号)。
t
评注:分式函数求最值,平时直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值。即化为
y
mg
x
)
BA
0,
B
(
)
恒正或恒负的形式,而后运用基本不等式来求最值。
(
A
(
0),gx
g(x)
解:令
x
2
4t(t
2),则y
x2
5
x
2
4
1
t
1
(t2)
x2
4
x2
4
t
因t0,t
1
1,但t
1
解得t
1不在区间2,
,故等号不成立,考虑单调性。
t
t
由于y
t
1
在区间1,
单调递加,所以在其子区间
2,
为单调递加函数,故
y
5
t
。
2
所以,所求函数的值域为
5,
。
2
分析:“和”到“积”是一个减小的过程,并且
3a
3b定值,所以考虑利用均值定理求最小值,
解:
3a和3b都是正数,3a
3b≥23a
3b
2
3a
b
6
当3a
3b时等号成立,由a
b
2及3a
3b得a
b
1即当ab1时,3a
3b的最小值是6.
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数学
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错解:x0,y
0,且1
9
1,
xy
1
9
xy2
9
2xy12
故
xymin
12。
..
x
y
x
y
xy
错因:解法中两次连用基本不等式,在
xy2xy等号成立条件是x
y,在1
9
2
9等号成立
x
y
xy
条件是1
9
即y
9x,取等号的条件的不一致,产生错误。所以,在利用基本不等式办理问题时,列出
x
y
等号成立条件是解题的必需步骤,并且是检验变换能否有误的一种方法。
正解:x0,y0,1
9
1,xy
xy
1
9
y
9x1061016
x
y
x
y
x
y
当且仅当y
9x
1
9
ymin16
时,上式等号成立,又
1
,可得x
4,y
12
时,x
。
x
y
x
y
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式
≤a2+b2
。
ab
2
2
2
1
2
1+y2
1
y2
同时还应化简
1+y
中y
前面的系数为
2
,x
1+y
=x
2·
2
=2x·
2
+2
y2
下边将x,
+
分别看作两个因式:
2
2
2
1
y2
2
2
y2
1
x·
1
y2
x+(
2+2)
x
+2+2
3
即x
1+y
2
=2·x
1y2
3
2+2
≤
2
=
2
=4
2+2
≤4
2
分析:这是一个二元函数的最值问题,平时有两个门路,
一是经过消元,转变成一元函数问题
,再用单调
性或基本不等式求解,对此题来说,这类门路是可行的;
二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条
件中既有和的形式,又有积的形式,不可以一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再经过解不等式
的门路进行。
30-2b
30-2b
-2b2+30b
法一:a=
+1
,
ab=
+1
·b=
b
+1
b
b
由a>0得,0<b<15
-2t
2+34t-31
16
16
16
令t=b+1,1<t<16,ab=
t
=-2(t+t
)+34∵t+t≥2
t·t
=8
1
∴ab≤18
∴y≥18
当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
法二:由已知得:
30-ab=a+2b∵a+2b≥22ab
∴30-ab≥2
2ab
令u=ab
则u2+2
2u-30≤0,-52≤u≤32
1
∴ab
≤3
2,ab≤18,∴y≥18
评论:①此题观察不等式
ab
ab(
a,b
R
)
2
的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等
式
ab
a
2b
(
a,b
R
)
30
出发求得ab的范围,要点是找寻到ab与ab之间的关系,由此想到不等
式a
b
ab(
)
ab的不等式,从而解得ab的范围.
a,bR,这样将已知条件变换为含
2
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变式:>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。
,求它的面积最大值。
a+ba2+b2
解法一:若利用算术均匀与平方均匀之间的不等关系,≤,此题很简单
22
3x+2y≤2(3x)2+(2y)2=23x+2y=25
解法二:条件与结论均为和的形式,想法直接用基本不等式,应经过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
2
2y≤10+(3x)
2
·(2y)
2
=10+(3x+2y)=20
W>0,W=3x+2y+23x·2y=10+23x·
∴≤20=25
W
变式:
求函数y
2x
1
52x(1
x
5)的最大值。
2
2
分析:注意到2x
1与
5
2x的和为定值。
y2
(2x1
5
2x)2
42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8
又y
0,所以0
y
2
2
当且仅当
2x
1=5
2x,即x
3时取等号。
故ymax
2
2。
2
评注:此题将分析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创立了条件。
总之,我们利用基本不等式求最值时,必定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积
极创立条件利用基本不等式。
分析:不等式右侧数字
8,使我们联想到左侧因式分别使用基本不等式可得三个“
2”连乘,又
1
1
1
ab
c
2
bc,可由此变形下手。
a
a
a
a
解:
a、b、c
R
,a
b
c
1。
1
1
1
abc
2
bc。同理1
1
2ac,11
2ab。
a
a
a
a
b
b
c
c
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1
1
11
1
1
2bc2
ac
2ab
8。当且仅当a
b
c
1
时取等号。
a
b
c
a
b
c
3
解:令x
y
k,x
0,y0,1
9
1,
xy9x
9y
1.
10
y
9x
1
x
y
kx
ky
k
kx
ky
1
10
23
。
k
16
,m
,16
k
k
分析:∵a
b
1
∴lga
0,lgb
0
Q
1
lgb)
lga
lgb
p
(lga
2
R
a
b
lg
ab
1
Q
∴RQP。
lg(
)
lgab
>>
2
2
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