文档介绍：常用三角恒等变换技巧
解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多,主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式(化一公式)”等,这些公式间一般都存在三种差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异,只有灵活有序地整合使用这些公式,消除差异、化异为同,才能得心应手地解决问题,这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一、“角变换”技巧
角变换的基本思想是,观察发现问题中出现的角之间的数量关系,把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。
例1 已知,,求的值。
【分析】考虑到“已知角”是,而“未知角”是和,注意到,可直接运用相关公式求出和。
【简解】因为,所以,
又因为,所以,
,
从而,. 原式=.
【反思】(1)若先计算出,则在计算时,要注意符号的选取;(2)本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开,结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐,易出现计算错误;(3)本题也可由,运用诱导公式和倍角公式求出。
例2 已知,其中,求证:
【分析】所给条件中出现的“已知角”是与,涉及的“未知角”是与,将三个角比较分析发现,,把“未知”
角转化为两个“已知”角的代数和,然后用相关公式求解。
【简证】
【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外,还用到了“弦化切”技巧.;(2)本题也可由已知直接求出与的关系,但与目标相差甚远,一是函数名称不同,二是角不同,所以较为困难;(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有: ,,,,,等.
二、“名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换,需要进行名变换的问题常常有明显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导公式、倍角公式,平方关系也能进行名变换。
例1 已知向量,,求的定义域和值域;
【分析】易知,这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数式更简明。
【简解】

由得,,
所以,.的定义域是,值域是.
【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解.
例2 已知都是锐角,且,求的值。
【分析】已知条件中,等式的右边是分式,符合和差解的正切公式特征,可考虑“弦化切”,另一方面,若是“切化弦”,则很快出现待求式,与目标很近.
【简解1】显然时,,
因为都是锐角,所以,
所以,.
【简解2】由得,,
设,则
,
所以,,,即.
【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时,很容易“弦化切”;简解2很巧妙,其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.
三、“常数变换”技巧
在三角恒等变形过程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,以利于完善式子结构,运用相关公式求解,如,,等.
例1 (1)求证: ;(2)化简:.
【分析】第(1)小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和