文档介绍：《计量经济模型与经济预测》
福州大学管理学院
林筱文教授编
一、线性回归模型
最小二方程原理和参数估计
Ŷ=a+bx
y Q=∑(y- ŷ) →最小
=∑(y-a-bx)2 →最小
ŷ 对a和b求一阶微分
2Q/2A=2 ∑(y-a-bx)(-a)=0
2Q/2B= 2 ∑(y-a-bx)(-bx)=0
x
得: ∑y-na-b ∑x=0 →∑y=na+b∑x=0
∑xy-a∑x-b∑x2=0 ∑xy=a∑x+b∑x2=0
得: a= ∑y/n-b (∑y/n)
b= [∑xy- (∑x) (∑y) /n]/ ∑x2-(∑x)2=Lxy/Lxx
回归系数b说明当x变动一个单位时,y平均变动一个b的值
回归误差估计和相关系数
估计标准误差:
Sy= ∑(y- ŷ)2/(n-2) = (∑y2-a ∑y-b ∑xy)/n-2
相关系数:
R=Lxy/ LxxLyy
Lxy= ∑xy- (∑x ∑y)/n
Lxx= ∑x2-(∑x)2/n
Lyy= ∑y2- (∑y)2/n
●线性回归模型预测
当计算回归模型由大样本计算时(n>30),其预测区间的误差分布服从正态分布,则预测区间为:
ŷ0=(a+bx0) ±(Z2/2)×Sy
当计算回归模型由小样本计算时(n<30),其预测区间的误差分布服从七分布,则预测区间为:
ŷ0 =(a+ bx0) ±(Ta/2) × Sy ×1+1/n+[(X0-X)2/ ∑(X-X)2]
例:
建筑面积
(万m2)x
建造成本
(万元)y
x2
y2
xy
ŷ
y- ŷ
(y- ŷ)2
4
16
2
4
3
9
-
5
25
-
4
16
-
5
25
-
∑ 23
95
_____
解:
b=[-1/6(23)()]/[95-1/6(23)2]=
a=-×(23/6)=
待线性回归方程:
ŷ=+
即建筑面程每增加一万m2,
Sy= ∑(y- ŷ)2/(n-2)= /(6-2)=
r=Lxy/ LxxLyy = (∑xy- ∑x ∑y/n)/ [∑x2-(∑x)2/n][∑y2-(∑y)2/n]
=
预测:假设x0=,y0=+×=(万元),当n=6<30时,查七分布表ta/2(n-2)=t()(4)
ta/2(n-2) ×Sy × 1+1/n+(x0-x)2/ ∑(x-x)2=
所以建造成本的区间预测在显著性水平为a=5%,即以95%的概率计算y0=±,即在[—]万元之间
二、非线性回归模型—曲线回归模型
在对客观现象选择回归模型时,应注意:
1、回归方程的形式应与经济学的基本理论相一致,应该在定性分析和定量分析的基础上选择适当的回归模型
2、回归方程与实际现象的变量值应要有较高的拟合程度,能较好地反映经济实际运行趋势
3、在对方程的模型一时无法判断时,可先画散点图,观察现象实际值的变动趋势,来选择相应的拟合回归模型。或者多选择几个回归模型,加以拟合,分别计算估计标准误差,选择估计标准误差最小的那个回归模型
4、回归模型的数学形式要尽可能简单,一般说来,数字型式越简单,则基回归模型的可操作性越强。过于复杂的回归模型的数学形式在实际经济分析和经济预测中,其实际应用价值不大
抛物线方程: ŷ=a+bx+cx2
根据最小二乘法原理,求该方程待定a、b、c参数的方程组如下:
∑y=na+b ∑x+c ∑x2 y
∑xy=a ∑x+b ∑x2+c ∑x3
∑x2y=a ∑x2+b ∑x3+C ∑x4
x
判定某变量趋势是否符合抛物线议程时,可利用差分法:
1、当X以一个常数变化时,Y的一阶差分即△Y=Yt-Yt