高等数学 高等代数习题集.doc

文档介绍：第一章多项式
§
:若是
(6) ,
那么
(6)式的不全为零的复系数多项式和
:
§ 多项式的整除性
:
( i )
(ii)
:必要且只要
,其中且证明:

,证明:整除

:
:整除必要且只要整除
§ 多项式的最大公因式
计算以下各组多项式的最大公因式:
( i )
(ii)
设证明:若且和不全为零,则反之,若则是与的一个最大公因式.
令与是的多项式,而是中的数,并且
证明:
4. 证明:
(i)是和的最大公因式;
(ii)
此处等都是的多项式。
5. 设都是有理数域Q上的多项式。求使得
6. 设,令是任意正整数,证明:由此进一步证明,对于任意正整数,都有.
7. 设证明:
.
8. 证明:对于任意正整数都有.
9. 证明:若是与互素,并且与的次数都大于0,那么定理里的与可以如此选取,使得的次数低于的次数,的次数低于的次数,并且这样的与是唯一的。
10. 决定,使与的最大公因式是一次的。
11. 证明:如果那么对于任意正整数,
12. 设,是数域上的多项式,与的最小公倍式指的是中满足以下条件的一个多项式:
且;
如果且,那么.
证明:中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的差别外,是唯一的。
设,都是最高次项系数是1的多项式,令表示和的最高次项系数是
1的那个最小公倍式,证明
13. 设并且,证明:.
14. 设证明:

互素的充要条件是存在多项式使得
15. 设,令
,证明:有最大公因式.[提示:如果不全为零,取是I中次数最低的一个多项式,则就是的一个最大公因式.]
§ 多项式的分解
在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积:

分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.
证明: 当且仅当.
求在内的典型分解式;
求在内的典型分解式
:数域上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意,或者,或者存在一个正整数使得.
.
§ 重因式
证明下列关于多项式的导数的公式:


:
未必是的重因式;
是的重因式的充分且必要条件是.
3. 证明有理系数多项式
没有重因式.
,下列的有理系数多项式才能有重因式?


5. 证明:数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是
,
这里的是中的数
§ 多项式函数多项式的根
,求.
,如果可以被整除,
,是几重根?

求[提示:应用综合除法.]
.
;
.
,使