文档介绍：第三章复变函数的积分
1、复变函数的积分
2、几个引理
3、柯西定理
复变函数的积分
设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
把曲线C用分点
分成n个更小的弧,在这里分点
是在曲线C上按从到Z的次序排列的。
如果是到的弧上任意一点,那么考虑和式
复变函数的积分
复变函数的积分
分实部与虚部,有
或者
在这里分别表示的
实部与虚部。
复变函数的积分
按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线C上的分点个数无穷增加,而且
时,上面的四个式子分别有极限:
这时,我们说原和式有极限
复变函数的积分
这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分,记为
因此,我们有
复变函数的积分
如果C是简单光滑曲线:
,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成
因此,我们有
复变函数的积分
我们可以看到,把dz形式地换成微分,就直接得到上式,因此有
当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论。
复变函数的积分的性质:
复变函数积分的基本性质:设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续,则有
(1)
(2)
(3)
其中曲线C是由光滑的曲线连接而成;
(4)
积分是在相反的方向上取的。
复变函数的积分的性质:
如果C是一条简单闭曲线,那么可取C上任意一点作为取积分的起点,而且积分当沿C取积分的方向改变时,所得积分相应变号。
(5)如果在C上,|f(z)|<M,而L是曲线C的长度,其中M及L都是有限的正数,那么有,
证明:因为
两边取极限即可得结论。