文档介绍：一维随机变量及概率分布
一、一维随机变量及概率分布表示
(一). 一维随机变量及概率分布函数
1. 设为一个随机变量,为任一个实数,则称为的概率分布函数。
:
(1).
(2). 单调递增
(3). ,
(4). 右连续。
3. 利用概率分布函数求概率:
(1). ,
(2). ,
(3). ,
(4).
(5).
4. 任何一个满足性质(1)~(4)的函数都可作为某个随机变量的概率分布函数。
例:设~
求的概率分布函数。
解:的概率分布函数。
离散型随机变量的概率分布函数是阶梯形函数。
(二). 一维离散型随机变量及概率分布
:设为一个随机变量,且的取值仅有有限个数或可列个数,则称为离散型随机变量。
离散型随机变量可用概率分布表或概率分布列表示。
…
…
…
…
~
或~
:
(1).
(2).
3. 利用概率分布列求概率:
若~则
例1:设电子线路中装有两个并联的继电器,设这两个继电器是否接通具有随机性,且相互独立,,记为线路中接通的继电器的个数,求的概率分布及线路接通的概率。
解:设:第个继电器接通,,则,于是
的概率分布表
0
1
2
~
线路接通的概率为
例2:一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个红绿信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以
表示汽车首次遇到红灯时已通过的路口数,求的概率分布。
解:的取值可能为0,1,2,3;
设:汽车在第个路口遇到红灯,,则,于是
的概率分布表
0
1
2
3
~
(三). 一维连续型随机变量及概率分布
:设为一个随机变量, 为一非负函数,若对任意实数,,事件的概率,则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数。
2. 概率密度函数的性质:
(1).
(2).
:
若~则
4. 概率分布函数和概率密度函数的关系
若的概率分布函数为,的概率密度函数为,则
(1). (2).
(一). 常用的一维离散型随机变量
0
1
~
或,
2. 二项分布
记重贝努里试验中出现的次数为,则,且
~,
(1). ~, ,
(2).泊松定理:
在重贝努里试验中,事件在每次试验中发生的概率为(这与试验的次数有关),若当时,,为常数,则对任意的值,有
(二). 常用的一维连续型随机变量
(1). 标准正态分布
(A). 标准正态分布的概率密度函数
~, 的概率密度函数为
(B). 标准正态分布的概率分布函数
~, 的概率分布函数为 。
(C). 标准正态分布的概率分布函数的性质
====
==
==1-
(2).正态分布
~, 的概率密度函数为
(3).标准化定理
若~,则~
例:某人从家到工厂去上班时有两条路可走,第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间分的概率密度函数为;第二条路程较长,但交通堵塞较少,所需时间分的概率密度函数为;
(1).他每天提前1小时从家中出发,问应走哪条线路上班迟到的概率小?
(2).他每天提前55分钟从家中出发,问应走哪条线路上班迟到的概率小?
解:
(1). (令)
(令)
因为,所以选第二条路线。
(2). 同理选第一条路线。
2. 均匀分布
~,的概率密度函数为。
~,的概率密度函数为。
(三). 常用的一维连续随机变量总结
名称
记号
分布
数学期望
方差
二点分布
二项分布
.
泊松分布
正态分布
,
均匀分布
指数分布
例1:设的概率分布表
-1
0
1
~
求的概率分布.
-1
0
1
1
0
1
解:
整理得
0
1
~
例2:设~,求的概率密度.
解:设的概率分布函数为
所以的概率密度函数为
例3:设~,求的概率密度.
解:设的概率分布函数为
时,
时,
所以
时,的概率密度函数为
时,的概率密度函数为
例4:设~, 求的概率密度.
设的概率分布函数为
(1).时,
(2).时,
(2-1). 即时,=1,
(2-2). 即时,,
(2-3). 即时,,
所以的概率密度为