文档介绍：§4 最大公因式
§5 因式分解
§6 重因式
§10 多元多项式
§11 对称多项式
§3 整除的概念
§2 一元多项式
§1 数域
§7 多项式函数
§9 有理系数多项式
§8 复、实系数多项式
的因式分解
第一章多项式
一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
§ 有理系数多项式
问题的引入
1. 由因式分解定理,作为一个特殊情形:
对则可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积.
但是,如何作出它的分解式却很复杂,没有一个
一般的方法.
2. 我们知道,在上只有一次多项式才是不可约
多项式;
在上,不可约多项式只有一次多项式与某些
二次多项式;

如何判断上多项式的不可约性呢?
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题.
这是因为任一有理数可表成两个整数的商.
事实上,设
则可选取适当整数
使为整系数多项式.
若的各项系数有公因子,就可以提出来,得
也即
其中是整系数多项式,且各项系数没有异于
的公因子.
一、本原多项式
设
定义
若没有
则称为本原多项式.
异于的公因子,即
是互素的,
有关性质
1.
使
其中为本原多项式.
(除了相差一个正负号外,这种表示法是唯一的).

定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式.
设
是两个本原多项式.
若不是本原的,则存在素数
证:
又是本原多项式,所以不能整除的
每一个系数.
反证法.
令为中第一个不能被整除的数,即
同理, 本原,令为中第一个不能被
整除的数,即
又
矛盾.
在这里
故是本原的.
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式,则它一定可分解
成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
二、整系数多项式的因式分解