文档介绍：曲线的切线概念分析(上)
对于切线问题,,大多数同学对于圆的切线的定义、,,同学们对于圆锥曲线和一般曲线的切线问题形成了很多错误的认识,产生了很多错误的结论.
在整个中学数学中,,,本文针对曲线的切线概念进行较为全面地解析.
一、切线概念的产生与发展
1. 圆的切线
在欧几里得的《几何原本》第三卷中,有一个命题:“,在这个平面上在这直线与圆之间不能再插入另外的直线”.此命题中“过圆直径的一端垂直于直径的直线”“圆的切线与圆只有一个交点,这是唯一的结论”.
2. 圆锥曲线的切线
阿波罗尼奥斯定义圆锥曲线的切线为“与圆锥曲线有一公共点且全在圆锥曲线之外的直线”.这种切线定义对圆锥曲线一类的曲线已足够,但不适用于较复杂的曲线.
3. 十七世纪初关于切线的三种定义
(1) 解析几何方法
笛卡尔于1637年提出解析几何方法,又叫做笛卡尔圆法(重根法),是采用代数形式给出了求切线的方法,,对于曲线上的任意一点作圆,当圆与曲线只有一个交点时,过圆心与这点的直线就是法线,,,当所对应的方程组有重根时,就可以确定圆心所在的直线(法线).这种方法的求解过程较长.
(2) 合速度方向法
法国数学家罗伯瓦尔(1602~1675)从运动角度出发,把曲线看成一个动点的轨迹,并于1634年定义曲线的切线为“合速度方向的直线”..
(3) 割线极限位置法
英国数学家费马•巴鲁(1630~1667)等人则从几何角度出发,,,法国数学家笛沙格(1591~1661),.
二、切线与微积分
到十七世纪,科学界已经积累了许多具体的问题需要解决,,大约有四种主要类型的问题:第一类是求瞬时速度的问题;第二类是求曲线的切线的问题;第三类是求函数的最值的问题;第四类是求曲线长、曲线围成的面积、、莱布尼茨对以往分散的努力加以综合,把上述几类问题总结为两个最核心的问题:一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)
.由此统一成微分和积分两类普通的算法