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四川省宜宾市高县复兴镇中学2021年高三数学文期末试卷含
解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有
是一个符合题目要求的
,b满足,则向量b在向量a方向上的投影是
.-【点评】本题考查了平面图形中向量的数量积的计算;充分利用平面图形的性质是解答的前提.
,则下列判断正确的是
参考答案:()
B
△ABC中,A=30°,AB=3,AC=2,且+2=0,则?等于()
.﹣8D.﹣6
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】首先由已知求出角B的大小,然后根据直角三角形的性质得到CD,再数量积公式计算可
得.
,
【解答】解:由题意,如图:因为2×sin30°=3=AB,所以∠C=90°,因为+2=0,则AD=2,
BD=1,则BC=,
C.
所以tan∠BCD=,所以∠BCD=30°,所以∠DCA=30°,得到CD=2,参考答案:
所以?=2×2×cos150°=﹣
故选:D.【分析】
先根据对称轴求得,再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值,最后作判断.
【详解】由图可知,是函数的对称轴,所以解得
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,因为,所以,,
,则实数a的取值范围为()
,
.
函数的最小正周期为,由得对称轴方程为,参考答案:
D
由得对称中心为,,
故选:①至多有一个零点,
【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质,考查基本分析判断与求解能力,属
中档题.∴方程至少有两个零点.
令,.
(e为自然对数的底数)=
若,则为上的增函数,
(A)0(B)1(C)2(D)
参考答案:故至多有一个零点,舍去;
C.
若,则,
因为e>1,所以,所以
⊥平面β,直线m,n均不在平面α、β内,且m⊥n,则()令,则,
⊥β,则n∥∥β,则m⊥⊥β,则n⊥
n⊥β,则m⊥β为上的减函数,故,
参考答案:
若,则,为上的减函数,
A
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
故至多有一个零点,舍去;
【分析】根据空间线面位置关系的定义及判定定理或结合图形,给出反例进行判断.
【解答】解:对于A,若m⊥β,m⊥n,则n∥β或n?β,若,则在有解,
又直线m,n均不在平面α、β内,∴n∥β,故A正确,C错误;
当时,;当时,,
对于B,若n∥β,则β内存在无数条平行直线l,使得l∥n,
故在上单调递增,在单调递减,
∵m⊥n,∴l⊥m,根据线面垂直的定义可知m与β不一定垂直,故B错误;
对于D,若n⊥β,m⊥β,则m∥n,与条件m⊥n矛盾,故D错误.
∴在上只能有两个零点,
故选A.
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方程f(f(x)))=0,即(x2+bx)2+b(x2+bx)=0,即(x2+bx)(x2+bx+b)=0,
解得x=0,或x=﹣b,或x=.
由于存在xB,xA,故b2,解得,或.
故,∈0?﹣4b≥0b≤0b≥4
由于当b=0时,不满足集合中元素的互异性,故舍去,即实数b的取值范围为{b|b<0或
又方程有一个零点,故,故,
b≥4},
综上,,故选D.
故选B.
点评:本题主要考查二次函数的性质,集合建的包含关系,注意检验集合中元素的互异性,属于基础
()
题.
,若满足:①在内是单调函数;②存在,使得
参考答案:在上的值域为,那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数
C
是定义域为的“成功函数”,则的取值范围为()
略
(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x)))=0},.
A∩B≠?且存在x0∈B,x0?A则实数b的取值范围是()参考答案:
≠<0或b≥≤b<≤4或b≥4
C
参考答案:略
,则下列命题:
考点:二次函数的性质;子集与交集、并集运算的转换.
(1)若数列是递增数列,则数列也是递增数列;
分析:由f(f(x)))=0,把x2+bx+c=0代入,解得c=0,由此求得A={0,﹣b}.方程f(f
(2)数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数;
(x)))=0即(x2+bx)(x2+bx+b)=0,解得x=0,或x=﹣b,或x=.由于
存在,,故2,从而求得实数的取值范围.
x0∈Bx0?Ab﹣4b≥0b(3)若是等差数列(公差),则的充要条件是
解答:解:由题意可得,A是函数f(x)的零点构成的集合.
由f(f(x)))=0,可得(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0,把x2+bx+c=0代入,解得c=0.
(4)若是等比数列,则的充要条件是
故函数f(x)=x2+bx,故由f(x)=0可得x=0,或x=﹣b,故A={0,﹣b}.
其中,正确命题的个数是()
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【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
参考答案:
【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可.
B【解答】解:∵S=12,
3
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分∴S=3a+d=3a+3d=12.
311
解得d=2,
则a=a+5d=2+2×5=12,
(α+)=3,tanβ=2,则tan(α﹣β)=.61
参考答案:故答案为:12
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用,根据条件求出公差是解决本题的关键.
,y,z∈R,且x2+y2+z2=1,则x+2y+3z的最大值是.
﹣.
参考答案:
【分析】利用特殊角的三角函数值,两角和的正切函数公式可求tanα的值,由已知利用两角差的正切
函数公式即可计算得解tan(α﹣β)的值.
考点:一般形式的柯西不等式;柯西不等式在函数极值中的应用.
专题:不等式的解法及应用.
分析:分析题目已知x2+y2+z2=1,求x+2y+(ax+by+cz)2≤
【解答】解:∵tan(α+)===3,解得:tanα=,tanβ=2,
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2),首先构造出柯西不等式求出(x+2y+3z)2的最大值,开平方根即
可得到答案.
解答:解:因为已知x2+y2+z2=1根据柯西不等式(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)构造得:
∴tan(α﹣β)===﹣.
即(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)≤1×14=14
故答案为:﹣.
故x+2y+3z≤.当且仅当x==时取等号.
,则x+2y+3z的最大值是.
则=故答案为:.
参考答案:
点评:此题主要考查柯西不等式的应用问题,对于此类题目有很多解法,但大多数比较繁琐,而用柯
11西不等式求解非常简练,需要同学们注意掌握.
{a}的前n项和S,若a=2,S=12,则a=.
(x)=的定义域是.
参考答案:
参考答案:
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[﹣2,2]
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案.
【解答】解:由lg(5﹣x2)≥0,得5﹣x2≥1,
即x2≤4,解得﹣2≤x≤2.
∴函数f(x)=的定义域是[﹣2,2].
故答案为:[﹣2,2].
16.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖,周五张四
尺,?”其意思为:“有圆柱形容器,底面周长为五丈四尺,高一丈八尺,
求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.
(古制1丈=10尺,1斛=,圆周率)
参考答案:
故a的取值范
2700
围为.
.
(I)当时,求不等式的解集;
,y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.(II)若关于x的不等式有解,求的取值范围.
参考答案:参考答案:
9
(I)当时,,即,1分
根据不等式组约束条件可知目标函数在(3,0)处取得最大值为9.
即或或,4分
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
所以或,
设函数.
;5分
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(II)
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
参考答案:6分
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,7分
因为不等式有解,
所以,即,9分,.
参考答案:
,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售
由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.
量(单位:)和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量
令,先建立关于的线性回归方程
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
,
,
所以关于的线性回归方程为,
所以关于的线性回归方程为.
由知,当时,年销售量的预报值为,
表中,
.年利润的预报值为.
根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方
根据的结果知,年利润的预报值
程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
,
根据的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
当,即时,年利润的预报值最大,
已知这种产品的年利润与、:
,年利润预报值最大.
年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=﹣.
年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
(1)求角B的大小;
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估(2)若b=,a+c=4,求a的值.
计分别为:参考答案:
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】(1)根据正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后,由
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sinA不为0,即可得到cosB的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;【分析】(1)先设出切点坐标P(x,ex0),再利用导数的几何意义写出过P的切线方程,最后将
0
(2)利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB,配方后把b,a+c及cosB的值代入,列出关于a的方(1,0)代入即可得P点坐标,从而得到直线的斜率k;
程,求出方程的解即可得到a的值.
(2)令h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣k(x﹣1),确定x=lnk时,函数h(x)取得最小值k﹣k(lnk
【解答】解:(1)由正弦定理得===2R,得﹣1),利用当x∈(1,3)时,图象C恒在l上方,可得k﹣k(lnk﹣1)>0,即可求实数k的取值
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,范围.
(3)证明(x﹣1)(x﹣1)<1,即可得出结论
代入=﹣,12
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,【解答】(1)解:曲线y=ex的导数为y′=ex,设切点为P(x,ex0),则过P的切线方程为y﹣
0
化简得:2sinAcosB+sin(B+C)=0,ex0=ex0(x﹣x)
0
∵A+B+C=π,
代入(1,0)点得x=2,∴P(2,e2),
∴sin(B+C)=sinA,0
∴2sinAcosB+sinA=0,
代入g(x)=kx﹣k,可得k=e2;
∵sinA≠0,∴cosB=﹣,(2)解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣k(x﹣1),
∴h′(x)=ex﹣k,
又∵角B为三角形的内角,∴B=;
∴x∈(1,lnk)时,h′(x)<0,x∈(lnk,3)时,h′(x)>0,
(2)将b=,a+c=4,B=,
代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得∴x=lnk时,函数h(x)取得最小值k﹣k(lnk﹣1),
13=a2+(4﹣a)2﹣2a(4﹣a)cos,∵当x∈(1,3)时,图象C恒在l上方,
∴a2﹣4a+3=0,
∴k﹣k(lnk﹣1)>0,
∴a=1或a=3.
(x)=ex的图象为C,函数g(x)=kx﹣k的图象记为l.∴e<k<e2;
(1)若直线l是曲线C的一条切线,求实数k的值.
(3)证明:由题意,=kx﹣k,=kx﹣k
12
(2)当x∈(1,3)时,图象C恒在l上方,求实数k的取值范围.
∴=k2(x﹣1)(x﹣1)<k2,
12
(3)若图象C与l有两个不同的交点A、B,其横坐标分别是x、x,设x<x,求证:xx<x+x.
12121212
∴(x﹣1)(x﹣1)<1,
12
参考答案:
∴xx<x+x.
1212
【考点】函数的图象.
【点评】本题考察了导数的几何意义,解题时要注意发现隐含条件,辨别切线的类型,分别采用不同
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
策略解决问题.
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