文档介绍：生活中的优化问题举例(1)
一、教学目标:
学习目标:会利用导数解决生活中的优化问题
知识能力目标:通过感受导数在研究函数以及实际问题中的作用,体会导数的
思想及其内涵,并培养利用所学知识解决问题的能力。。
情感目标:通过具体的情境感知研究导数,形成学习数学知识的积极态度.
体会导数在解决实际问题中的应用。
二、教学重点与难点:
教学重点:通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的应用。
教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
三、教学过程:
(一)创设情景
提出问题:
问题(1):一块正三角形的铁板的三个角
上分别剪去三个全等的四边形,然后折成一
个正三棱柱,
时,正三棱柱的体积最大,最大值是.
问题(2):有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸40千米,乙城到岸的垂足与甲城相距50千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省?
(二)新课讲授
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,,我们知道,导数是求函数最大(小),我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.
(三)典例分析
例1. 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,
此时四周空白面积为
。
求导数,得
。令,
解得舍去)。
于是宽为。
当时,<0;当时,>0.
因此,是函数的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。
(四)师生互议、小组讨论
(1)导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
①与几何有关的最值问题;
②与物理学有关的最值问题;
③与利润及其成本有关的最值问题;
④效率最值问题。
(2)“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题中的最大(小)值,,其主要步骤如下:(1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系;(2)求函数的导数,解方程=0;(3)比较函数在区间端点和使=0的点的取值大小,最大(小)者为最大(小)值.
(五)课堂练习
完成问题1、问题2
问题1:答案略
问题2:【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米,总费用为y元,
则CD =.
y =500(50-x)+700=25000-500 x +700,
y′=-500+700 · (x 2+1600)· 2 x=-500+,
令y′=0,解得x =.
答:水厂距甲距离为50-千米时,总费用最省.
【点评】
当