文档介绍：第9课时解三角形复****课
(1)、(2)
学****要求
掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形;
能利用计算器解决三角形的计算问题。
【课堂互动】
自学评价
:txjy
(1)形式一:= 2R ;
形式二:;;;(角到边的转换)
形式三:,,;(边到角的转换)
形式四:;(求三角形的面积)
(2)解决以下两类问题:
1)、已知两角和任一边,求其他两边和一角;(唯一解)
2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)。
(3)若给出那么解的个数为:
若,则无解;
若,则一解;
若,则两解;
:txjy
(1)形式一:,,
听课随笔
形式二:,,,(角到边的转换)
(2)解决以下两类问题:
1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们得夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)
【精典范例】
一、判定三角形的形状
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状:
若a2tanB=b2tanA;
b2sin2C + c2sin2B=osBcosC;
(3)(sinA + sinB + sinC) –(cosA + cosB + cosC)=1.
【解】(1)由已知及正弦定理得
(2RsinA)2 = (2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=osBcosC
∵ sinBsinC≠0,
∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,
故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) –(cosA + cosB + cosC)=1
[2sincos+ sin(A + B)] –[2coscos+ 2cos2- 1]=0
[2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0
△ABC是Rt△.
二、三角形中的求角或求边长问题
【例2】△ABC中,已知:AB=2,BC=1,CA=,分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F,使△∠FEC=α,问sinα为何值时,△DEF的边长最短?并求出最短边的长。
分析:要求最短边的长,需建立边长关于角α的目标函数。
【解】设△DEF的边长为x,显然∠C=90°,∠B=60°,故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B,所以∠EDB=α。在△BDE中,由正弦定理得,
听课随笔
所以,因为BE+EC=BC,所以,
所以
当,。
注:在三角形中,已知两角一边求其它边,自然应联想到正弦定理。
【例3】在△ABC中,已知sinB=,
cosA=, 试求cosC的值。
【解】由cosA=,得sinA=,
∵ sinB<sinA, ∴ B中能是锐角
∴ cosB=,
又 cosC= - cos(A