文档介绍：主成分分析与因子分析详细的异同和SPSS软件
摘要:主成分分析与因子分析(R-型)应用十分广泛,但一些论文和一些SPSS软件教科书(见附文)出错。本文指出了这些错误及其成因,指出了出错造成的危害,从原理上给出了主成分分析与R-型因子分析数学模型详细的异同,给出了避免出错的方法, 并对SPSS软件及有关教科书提出了一些建议。
关键词:主成分分析;因子分析;SPSS软件;出错;避免
设=(X1 ,…,XP为标准化随机向量(p≥2),R为相关系数矩阵, =(F1 ,…,Fm 为主成分向量,=(Z1 ,…,Zm 为因子向量,m≤p,为方便,因子、因子估计、因子得分用同一记号。
一、问题的提出与结论
主成分分析与R-型因子分析是多元统计分析中的两个重要方法,同是降维技术,应用范围十分广泛,但通过流行甚广的SPSS软件调用这两种方法的过程命令,使用者容易出错,是什么原因造成这些错误呢?主成分分析与R-型因子分析到底有何异同呢?出错会造成什么危害呢?
由于SPSS软件在经济、医学、管理等领域中的广泛流行使用,解决这些问题尤其必要。
经过对一些论文和一些SPSS软件教科书(见附文)仔细查证分析、比较、研究得出:
出错原因:有些使用者和书作者对主成分分析与R-型因子分析的原理、异同与解题步骤掌握不透,现行SPSS软件及其书中没有完善这两种方法的研究(对高校师生出错影响很大)。
结论:主成分分析与R-型因子分析有10处主要的不同,致使主成分分析与因子分析的定量综合评价体系不同,混淆在一起是不同定量值交替错误,综合评价必须分开进行。
出错带来的危害:企业经济效益、竞争力等的综合评价会带来误评,医学诊断会带来误诊,决策会带来误断等。
二、一些使用者出现的错误及其成因分析
经过仔细查证分析,有下列错误:
使用主成分分析时①对主成分分析的原理没有掌握, 如叙述主成分分析概念出错。②主成分F求解出错,如=中(为单位矩阵,的意义见表1)。③不知主成分F的命名依据,对主成分F命名出错。④解释变量某Xk 被丢失。⑤对错误地进行旋转。⑥错误地进行回归求F。⑦把因子分析法(含没有旋转过程的)错误地当作主成分分析法。
使用因子分析时①对因子分析的原理没有掌握, 如将因子分析的思想叙述为主成分分析的思想。②不知因子Zi的命名依据,对因子Zi 的命名出错,如用因子得分函数对因子Zi进行命名。③解释变量某Xk 被丢失。④将主成分或因子错误地表示为(的意义见表1)。⑤不知相关系数矩阵特征值与因子贡献vi的区别,如综合因子得分函数Z综=Zi中的vi错误地取为特征值。使用SPSS软件时①由于SPSS软件本身无主成分分析模块,有些使用者就用因子分析中一些模块来制造主成分的结果,出现了混乱的定量过程。②由于SPSS软件教科书中因子分析内容处混淆主成分分析与因子分析,致使有些使用者也混淆这两种方法出错。
从以上可看出出错的原因是:有些使用者对主成分分析与R-型因子分析的原理(原理可见[4])、异同与解题步骤掌握不透,现行SPSS软件及其书中没有完善这两种方法的研究。
三、主成分分析与R-型因子分析数学模型的异同比较
这里给出的主成分分析与R-型因子分析的异同,与现行观点相比,是内容与过程上的比较,更透彻、更准确,是认识的深入。
相同之处:主成分分析与R-型因子分析都是对协差阵的逼近,都是打算降维解释数据集。具体为指标的正向化[3], 指标的标准化(SPSS软件自动执行),通过相关系数矩阵判断变量间的相关性,求相关系数矩阵的特征值和特征向量, 主成分间、因子间线性无关,用累计贡献率(
%)、变量不出现丢失确定主成分、因子个数m, 前m个主成分与前m个因子对X的综合贡献相同、是最大化的,命名依据都是主成分、因子与变量的相关系数。
不同之处:方差, 最大化方向, 所处的坐标系(标准正交性), 应用上侧重等见表1。
表1                        主成分分析与R-型因子分析的不同
区别项目
主成分分析数学模型:
R-型因子分析数学模型:
表达式与系数矩阵
=()=(…,),,是相应的特征值和单位特征向量,≥…≥≥ 0。
+(为特殊因子),
因子载荷矩阵m = ()=,
=( …,)
为初等因子载荷矩阵*(同左)。
因变量方差最大化   
Fi依次达到信息贡献最大化,
Var Fi=。             
Zi没有达到最大化,Var Zi=1。
矩阵方差最大化旋转
无, 旋转后就不是主成分了,因为
Var Fi ≠λi 。
有,为方差最大正交旋转矩阵,m达到方差最大化。
标准正交性
是,即(判据之一)。
非,因为。
因变量对X
的贡献
特征值。
vi=,vi,通常> v1 。