数列求和方法总结.pdf

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．熟练掌握等差数列与等比数
一、教学目标：1
列的求和公式；
2．能运用倒序相加、错位相减、
拆项相消等重要的数学方法进行求和运
算；
3．熟记一些常用的数列的和的公
式．
特殊数列求和的方法．
二、教学重点：
三、教学过程：
（一）主要知识：
1．直接法：即直接用等差、等比数列的
求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
n(a  a ) n(n 1)
S  1 n  na  d
n 2 1 2
na (q  1)
（2）等比数列的求和公式  1
S   a (1 q n )
n 1 (q  1)
 1 q
（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．公式法： n n(n  1)(2n  1)
 k 2  12  2 2  3 2   n 2 
6
k 1
n  n(n  1)  2
 k 3  13  2 3  33   n 3 
 2 
k 1
3．错位相减法：比如

a 等差 ,b 等比 ,求a b  a b    a b 的和.
n n 1 1 2 2 n n
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项
之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式： 1 1 1 ；
 
n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
n(n  2) 2 n n  2 (2n  1)(2n  1) 2 2n  1 2n  1

n  n! (n 1)!n!
5．分组求和法：把数列的每一项分成若
干项，使其转化为等差或等比数列，再
求和。
6．合并求和法：如求
100 2  99 2  98 2  97 2    2 2 12
的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法
等
（二）主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是
看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运
用；
3．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例 1．求和：①
S  111111  11 1
n 
n个
② 1 1 1
S  (x  ) 2  (x 2  ) 2   (x n  ) 2
n x x 2 x n
③求数列 1，3+4，5+6+7，
7+8+9+10，…前 n 项和
S
n
思路分析：通过分组，直接用公式求
和。
解：① 1
a  11 1  1  10  10 2    10 k  (10 k  1)
k 9
k个
1 1
S  [(101)(102 1) (10n 1)] [(10102  10n) n]
n 9 9
1 10(10 n  1) 10 n 1  9n  10
 [  n] 
9 9 81
② 1 1 1
S  ( x 2   2)  ( x 4   2)    ( x 2 n   2)
n x 2 x 4 x 2 n
1 1 1
 ( x 2  x 4    x 2 n )  (     )  2n
x 2 x 4 x 2 n
（ ）当 时，
1 x  1
x 2 (x 2n 1) x 2 (x 2n 1) (x 2n 1)(x 2n2 1)
S    2n   2n
n x 2 1 x 2 1 x 2n (x 2 1)
（2）当
x  1时,S  4n
n
③
k[(2k 1)  (3k  2)] 5 3
a  (2k 1)  2k  (2k 1)  [(2k 1)  (k 1)]   k 2  k
k 2 2 2

5 3 5 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
S  a  a   a  (12  22   n2 )  (1 2   n)   
n 1 2 n 2 2 2 6 2 2

1
 n(n 1)(5n  2)
6
总结：运用等比数列前 n 项和公式时，
要注意公比 讨论。
q  1或q  1
2．错位相减法求和
例 2．已知数列 ，求前 n
1,3a,5a 2 , ,(2n 1)a n1 (a  0)
项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列 1，
3，5，…2n-1 与等比数列 对应项
a 0 ,a,a 2 , ,a n1
积，可用错位相减法求和。
解：
S  1 3a  5a 2    (2n 1)a n1 1
n
aS  a  3a 2  5a 3    (2n 1)a n 2
n

1 2: (1 a)S  1 2a  2a 2  2a 3    2a n1  (2n 1)a n
n
当 2a(1 a n1 )
a  1时,(1 a)S  1  (2n 1)n
n (1 a)2
1 a  (2n 1)a n  (2n 1)a n1
S 
n (1 a) 2
当
a  1时, S  n 2
n

例 22 42 (2n)2
S    
n 13 35 (2n 1)(2n 1)
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解:
(2k) 2 (2k) 2  1  1 1 1 1 1
a    1   1 (  )
k (2k  1)(2k  1) (2k  1)(2k  1) (2k  1)(2k  1) 2 2k  1 2k  1
1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n 1)
S  a  a   a  n  [(1 )  (  )   (  )]  n  (1  ) 
n 1 2 n 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
练习:求 1 2 3 n 答案:
S     
n a a 2 a 3 a n
 n(n 1)
(a  1)
 2
S  
n a(a n 1)  n(a 1)
 (a  1)
 a n (a 1)2

例 4 求证：
C 0  3C 1  5C 2    (2n 1)C n  (n 1)2 n
n n n n
思路分析：由 可用倒序相加法求
C m  C nm
和。 n n
证：令
S  C 0  3C 1  5C 2    (2n 1)C n (1)
n n n n n
则
S  (2n 1)C n  (2n 1)C n1    5C 2  3C 1  C 0 (2)  C m  C nm
n n n n n n n n

 (1)  (2)有 : 2S  (2n  2)C 0  (2n  2)C 1  (2n  2)C 2    (2n  2)C n
n n n n n
等式成立
 S  (n  1)[C 0  C 1  C 2    C n ]  (n  1)  2 n
n n n n n
5．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求
和。
例 5．已知数列 。
a , a  2[n  (1) n ], 求S
n n n
思路分析： ，通过分组，对 n 分
a  2n  2(1) n
奇偶讨论求和。n
解： ，若
a  2n  2(1) n
n
2m
n  2m,则S  S  2(1 2  3   2m)  2(1) k
n 2m
k1

S  2(1 2  3   2m)  (2m 1)2m  n(n 1)
n
若
n  2m 1,则S  S  S  a  (2m 1)2m  2[2m  (1) 2m ]  (2m 1)2m  2(2m 1)
n 2m1 2m 2m

 4m 2  2m  2  (n 1) 2  (n 1)  2  n 2  n  2
 n(n 1) (n为正偶数)
S  
n   n2  n  2 (n为正奇数)
预备：已知 成等
f (x)  a x  a x 2    a x n ,且a , a , a , a
差数列，n 为正偶数，1 2 n 1 2 3 n
又 ，试比较 1 与 3 的大小。
f (1)  n 2 , f (1)  n f ( )
2
解：
(a  a )n
1 n  n2
 f (1)  a  a  a   a  n2  a  a  2n
1 2 3 n  2  1 n
  n 
 f (1)  a  a  a   a  a  n  d  n  d  2
1 2 3 n1 n  2
a  a  (n 1)d  2n
 1 1 a  1a  2n 1
 d  2 1 n
1 1 1 1 1
f (x)  x  3x 2  5x3   (2n 1)x n f ( )   3( )2  5( )3   (2n 1)( )n
2 2 2 2 2

可求得 1 1 1 ，∵n 为正偶数，
f ( )  3  ( )n2  (2n 1)( ) n
2 2 2
1
 f ( )  3
2

（四）巩固练习：
1．求下列数列的前 项和 ：
n S
n
（1）5，55，555，5555，…，
5 ，…； （2） 1 1 1 1 ；
(10 n  1) , , , , ,
9 13 2 4 35 n(n  2)
（3） 1 ； （4）
a 
n n  n 1
；
a, 2a2 ,3a3 , ,nan,
（5） ； （6）
1 3,2  4,3 5, , n(n  2),
．
sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3   sin 2 89
解：（1） n个 5 n个
S  5  55  555   55 5  (9  99  999   99 9)
n 9
5
 [(10 1)  (10 2 1)  (10 3 1)   (10 n 1)]
9
5 50 5 ．
 [10 102 103  10n  n]  (10 n 1)  n
9 81 9
（2）∵ 1 1 1 1 ，
 (  )
n(n  2) 2 n n  2
∴
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ．
S  [(1  )  (  )  (  )   (  )]  (1    )
n 2 3 2 4 3 5 n n  2 2 2 n  1 n  2
（3）∵ 1 n 1  n
a    n 1  n
n n  n 1 ( n  n 1)( n 1  n)
∴ 1 1 1
S    
n 2  1 3  2 n 1  n
．
 ( 2 1) ( 3  2) ( n1 n)  n11
（4） ，
S  a  2a2 3a3  nan
n
当 时， … n(n  1) ，
a 1 S 1 2  3  n 
n 2
当 时， … ，
a 1 S  a  2a2  3a3  na n
n
… ，
aS  a 2  2a3  3a 4  na n1
n
两式相减得 …
(1  a ) S  a  a 2  a 3 
n
a(1  a n ) ，
 a n  na n 1   na n 1
1  a
∴ nan 2  (n 1)an 1  a ．
S 
n (1  a) 2
（5）∵ ，
n(n  2)  n2  2n
∴ 原式 … …
 (12  2 2  3 2   n 2 )  2  (1  2  3 
n(n 1)(2n  7) ．
 n) 
6
（6）设 ，
S  sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3   sin 2 89
又∵ ，
S  sin 2 89  sin 2 88  sin 2 87   sin 2 1
∴ ， 89 ．
2S  89 S 
2
2．已知数列 的通项 6n 5 (n为奇数) ，求其
{a } a  
n n 2n (n为偶数)
前 项和 ．
n S
n
解：奇数项组成以 为首项，公差为 12
a 1
的等差数列， 1
偶数项组成以 为首项，公比为 4 的
a  4
等比数列； 2
当 为奇数时，奇数项有 n 1 项，偶数项有
n
2
n 1 项，
2
n  1
(1  6n  5) n 1
∴ 4(1  4 2 ) (n  1)(3n  2) 4(2n 1  1) ，
S  2   
n 2 1  4 2 3
当 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 n
n
2
项，
n
(1  6n  5) n
∴ 4(1  4 2 ) n(3n  2) 4(2n  1) ，
S  2   
n 2 1  4 2 3
 (n  1)(3n  2) 4(2n 1  1)