文档介绍：数学悖论与三次数学危机
数学发展从来不是完全直线式的,而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰,数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现,不单给数学带来麻烦和失望,更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望,促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷反复过程,不断推动着数学的发展,这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
数学历来被视为严格、和谐、精确的学科,纵观数学发展史,数学发展从来不是完全直线式的,他的体系不是永远和谐的,而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上,根据合理的推理原则,推出了两个互相矛盾的命题,或者是证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事,因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑,而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话,甚至涉及到整个学科的基础时,这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感,特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机,每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。本文回顾了历史上发生的三次数学危机,重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
公元前六世纪,在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派,其思想在当时被认为是绝对权威的真理,毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点,他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。他们认为万物皆数,而数只有两种,就是正整数和可通约的数(即分数,两个整数的比), 除此之外不再有别的数,即是说世界上只有整数或分数。
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3],也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系,即a2=b2+c2,a和b分别代表直角三角形的两条直角边,c表示斜边。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1,并设其对角线长为d,依勾股定理应有d2=12+12=2,即d2=2,那么d是多少呢?显然d不是整数,那它必是两整数之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比,结果没找着,反而找到了两数不可通约性的证明[4],用反证法证明如下:设Rt△ABC,两直角边为a=b,则由勾股定理有c2=2a2,设已将a和c中的公约数约去,即a、c已经互素,于是c为偶数,a为奇数,不妨令c=2m,则有(2m)2=2a2,a2=2m2,于是a为偶数,这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
毕达哥拉斯悖论的出现,对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击,“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战,因此也影响到了整个数学的基础,使数学界产生了极度的思想混乱,历史上称之为第一次数学危机。
第一次数学危机的影响是巨大的,它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先,第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在,无理数从此诞生了,之后,许多数学家正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数,并建立了完整的实数理论[5],为数学分析的发展奠定了基础。再者