文档介绍：为梯形的水平薄片。先推导出每个圆片的体积是,其中是圆片最小厚度与最大厚度的平均值,亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成;面是由无限多条平行线段组成;、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理,后以“卡瓦列里原理”著称:
两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比,那么这两个立体的体积之间也有同样的比。
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积,(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分
的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。
,在平行四边形ACDF中,AF=a,其内任一平行于AF的截线GE被对角线分成两部分GH=x,HE=y。
先讨论一次幂和的关系。因x+y=a,故(利用对称性),,应为△CAF的面积,则为□,就得到,亦即
接着考虑、、等。例如,我们有,利用对称性得(*) 另一方面,
但卡瓦列里在此前已得到,因此,
也就是说,代入前面的结果(*),得
或
取正方形情形就得到了,即
卡瓦列里使用类似方法一直推到了公式。他还利用这方面的结果,计算出在单位区间
[0,1]上,曲线y=(n为正整数)下的图形的面积A=,以及将这个图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积V=。这些都说明卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法,因而也具有更大的威力。
笛卡尔“圆法”,求曲线过点P的切线,笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P处的法线与x轴的交点c的位置,然后作该法线的过点P的垂线,便可得到所求的切线。
如图3,过C点作半径为r=CP的圆,因CP是曲线在P点处的法线,那么点P应是该曲线与圆的“重交点”(在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P点附近的另一点).如果是多项式,有垂交点就相当于方程
+=
=e的多项式的形式必须是,笛卡儿把上述方程有重根的条件写成:
+
=x,就得到用x表示的v,这样过点P的切线的斜率就是。
以抛物线为例,,方程有重根的条件为
令x的系数相等,得k-2v=-2e,即v=e+。代入e=x,于是次法距v-x=,求出抛物线过点的切斜率是
笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近,但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献,但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系,但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来,作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此,在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论,成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作
牛顿的“流数术”
牛顿(,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两那著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时,牛顿首创了小
○记号表示x的无限小且最终趋于零的增量.
据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月又建立了“反流数术”(积分法).1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,当时虽未正式发表,但在同事中传阅.《流数简论》(以下简称《简论》)是历史上第一篇系统的微积分文献。
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”(即微商)概念,虽然没有使用“流数”《简论》中提出微积分的基本问题如下:
(a)设有两个或更多个物体A,B,C,…在同一时刻内描画线段x,y,z,…己知表示这些线段关系的方程,求它们的速度p,q,r,…的