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b23【详解】由渐近线方程3x?my?0化简得y??x,即?,同时平方得?,又双曲线中mama2m231a2?m,b2?1,故?,解得m?3,m?0(舍去),c2?a2?b2?3?1?4?c?2,故焦距2c?:4.【点睛】本题为基础题,考查由渐近线求解双曲线中参数,焦距,正确计算并联立关系式求解是关键.???????1,3?,b??3,4?,若(a??b)?b,则??【答案】5【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.??????a??b??ba??b??1,3????3,4???1?3?,3?4??【详解】因为,所以由可得,33?1?3???4?3?4???0??,:.5??【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设a??x,y?,b??x,y?,1122????a?b?a?b?0?xx?yy?0,?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B?60?,a2?c2?3ac,则b?________.【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得ac?4,【详解】由题意,S?acsinB?ac?3,?ABC24所以ac?4,a2?c2?12,1b2?a2?c2?osB?12?2?4??8,解得b?22所以(负值舍去).2故答案为:①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可).2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第10页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第11页【答案】③④(答案不唯一)【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③,俯视图为④,ABCD?ABCD中,AB?BC?2,BB?1,如图所示,长方体11111E,FBC,BC分别为棱的中点,11则正视图①,侧视图③,俯视图④对应的几何体为三棱锥E?:③④.【点睛】、解答题:、~21题为必考题,每个试题考生2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第11页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:,样本方差分别记为12xys2,s2;(1)求,,12s2?s2(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y?x?212,则认为10新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).x?10,y?,s2?,s2?;(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显【答案】(1)12著提高.【解析】【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法,计算出平均数和方差.(2)根据题目所给判断依据,结合(1)??10????10?????10【详解】(1),???10????????,??0????0?????,?????0???????(2)依题意,y?x??2???,2?,10s2?s2y?x?212,,四棱锥P?ABCD的底面是矩形,PD?底面ABCD,PD?DC?1,M为BC的中点,且PB?--第12页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第13页(1)求BC;(2)求二面角A?PM?【答案】(1)2;(2)14【解析】xyz【分析】(1)以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设?????????BC?2a,由已知条件得出PB?AM?0aBC,求出的值,即可得出的长;(2)求出平面PAM、PBM的法向量,利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】(1)?PD?平面ABCD,四边形ABCD为矩形,不妨以点D为坐标原点,DA、DC、DP所xyzD?xyz在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,BC?2aD?0,0,0?P?0,0,1?B?2a,1,0?M?a,1,0?A?2a,0,0?设,则、、、、,?????????PB??2a,1,?1?AM???a,1,0?则,,2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第13页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第14页?????????2?PB?AM,则PB?AM??2a2?1?0,解得a?,故BC?2a?2;2????????2???????PAMm??x,y,z?AM??,1,0AP??2,0,1(2)设平面的法向量为,则??,,111?2??????????2mAMxy0??????????211x?2,可得m?2,1,2由?,取,?????1?mAP2xz0??????11???????2???????PBMn??x,y,z?BM??,0,0BP??2,?1,1设平面的法向量为,??,,222?2??????????2n?BM??x?0r???22y?1,可得n?0,1,1由?,取,????2??n?BP??2x?y?z?0?222??????mn3314?cos?m,n???????14,m?n7?2??????70所以,sin?m,n??1?cos2?m,n??,1470因此,二面角A?PM??a?b?S???,为数列的前n项积,?b?是等差数列;(1)证明:数列n?a?的通项公式.(2)求n?3,n?1?2?a?【答案】(1)证明见解析;(2)???,n?2?n?n?1??【解析】212b3??2S?nb?0n?1b?【分析】(1)由已知得,且,取,得,由题意得Sbn2b?1n12nnn2b2b2b2bb1?2???n?bn?1?n?1?b?是等差数列;n,消积得到项的递推关系,进而证明数列2b?12b?12b?12b?1bn12nn?1n2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第14页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第15页?3,n?1?2?b的表达式,由此得到S的表达式,然后利用和与项的关系求得a?(2)由(1)可得???,n?2?n?n?1??212b1??2S?nb?0,b?,【详解】(1)由已知得n,且Sb2b?1nn2nnn3n?1S?b得b?,取,由1112b?S?由于为数列的前n项积,nn2b2b2b1?2???n?b所以n,2b?12b?12b?112n2b2b2b1?2???n?1?b所以n1,2b?12b?12b?1?12n?12bbn?1?n?1所以,2b?1bn?1nb?0由于n?1211所以?,即b?b?,其中n?N*2b?1bn?1n2n?1n31?b?是以b?为首项,以d?为公差等差数列;所以数列n12231?b?是以b?为首项,以d?为公差的等差数列,(2)由(1)可得,数列n12231n?b???n?1???1?,n2222b2?nS?n?,n2b?11?nn3当n=1时,a?S?,1122?n1?n1a?S?S????当n≥2时,nnn1,显然对于n=1不成立,?1?nnn?n?1??3,n?1?2?a?∴???,n?2?n?n?1??【点睛】本题考查等差数列的证明,考查数列的前n项和与项的关系,数列的前n项积与项的关系,其中2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第15页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第16页2b2b2b2b2b2b2bb1?2???n?b1?2???n?1?bn?1?n?1由n,得到n1,进而得到是关键2b?12b?12b?12b?12b?12b?1?2b?1b12n12n?1n?1n一步;要熟练掌握前n项和,积与数列的项的关系,消和(积)得到项(或项的递推关系),或者消项得到和(积)?x??ln?a?x?x?0y?xf?x?,已知是函数的极值点.(1)求a;x?f(x)g(x)?g?x??1(2):.xf(x)【答案】(1)a?1;(2)证明见详解【解析】y'a【分析】(1)由题意求出,由极值点处导数为0即可求解出参数;x?ln?1?x?g(x)?x?1x?0x??0,1?x????,0?(2)由(1)得,且,分类讨论和,可等价转化为要xln?1?x?g?x??1x?ln?1?x??xln?1?x?x??0,1?x????,0?证,即证在和上恒成立,结合导数和换元法即可求解1x【详解】(1)由f?x??ln?a?x??f'?x??,y?xf?x??y'?ln?a?x??,x?ax?ax?0y?xf?x?y'?0??lna?0又是函数的极值点,所以,解得a?1;x?f(x)x?ln?1?x?f?x??ln?1?x?g(x)??x?1x?0(2)由(1)得,,且,xf(x)xln?1?x?x?ln?1?x?x??0,1?g(x)??1?x?0,ln?1?x??0?xln?1?x??0当时,要证,,,即证xln?1?x?x?ln?1?x??xln?1?x?x??1?x?ln?1?x??0,化简得;x?ln?1?x?x????,0?g(x)??1?x?0,ln?1?x??0?xln?1?x??0同理,当时,要证,,,即证xln?1?x?x?ln?1?x??xln?1?x?x??1?x?ln?1?x??0,化简得;h?x??x??1?x?ln?1?x?t??0,1???1,???x?1?t令,再令t?1?x,则,,令g?t??1?t?tlnt,g'?t???1?lnt?1?lnt,t??0,1?g'?t??0g?t?g?1?g?1??0g?t??g?1??0当时,,单减,假设能取到,则,故;2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第16页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第17页t??1,???g'?t??0g?t?g?1?g?1??0g?t??g?1??0当时,,单增,假设能取到,则,故;x?ln?1?x?g(x)??1x????,0??0,1?综上所述,在恒成立xln?1?x?C:x2?2py?p?0?的焦点为F,且F与圆M:x2?(y?4)2?(1)求;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.【答案】(1)p?2;(2)205.【解析】pp【分析】(1)根据圆的几何性质可得出关于的等式,即可解出的值;A?x,y?B?x,y?P?x,y?(2)设点、、,利用导数求出直线PA、PB,进一步可求得直线AB的方112200程,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,求出AB以及点P到直线AB的距离,利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得△PAB面积的最大值.?p?pCF0,FM??4,【详解】(1)抛物线的焦点为??,22??p所以,F与圆M:x2?(y?4)2?1上点的距离的最小值为?4?1?4,解得p?2;2x2xCx2?4y,即y?,对该函数求导得y??(2)抛物线的方程为,42A?x,y?B?x,y?P?x,y?设点、、,112200xxxy?y?1?x?x?,即y?1?y,即xx?2y?2y?0,直线PA的方程为1212111xx?2y?2y?0,同理可知,直线PB的方程为22?xx?2y?2y?01010由于点P为这两条直线的公共点,则?,xx?2y?2y?0?2020xx?2y?2y?0,所以,点A、B的坐标满足方程00xx?2y?2y?0,所以,直线AB的方程为002021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第17页:..2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国乙卷含解析--第18页?xx?2y?2y?0?00x2x2?2xx?4y?0,联立?,可得y?00??4x?x?2x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