文档介绍：报告厅座位设计模型
一、问题的提出
本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型,怎样使观众能够舒服地观看听报告,从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。
已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角,视角是观众眼睛到屏幕上,下边视线的夹角,越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,过大使人的头部过分上仰,引起不舒服,因而一般要求不超过。通过分析求下列问题:
(1)在已知地板线倾角,求最佳座位的所在位置。
(2)已知范围不超过,为使所有观众的平均满意程度最大,求地板线倾角。
(3)为进一步提高观众的满意程度,地板线应设计成什么形状。
二、问题的分析
每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置,座位的满意程度主要取决于水平视角和仰角,越大越好,而越小越好,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点,使学生对两者的综合满意程度达到最大。
针对这个问题,本文通过主观判断分别对水平视角和仰角取权重,建立适当的坐标系,从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一,已知地板线倾角,求最佳座位所在,即将问题转化求综合满意度函数的最大值,这可利用4数学软件求函数极值的方法来求解;针对问题二,可将所有观众视为离散的点,要使所有观众的平均满意程度达到最大,即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数,只是将自变量转化为地板线倾角;针对问题三,即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计,使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的,为了使模型简化,以便更好地说明问题,文中将作以下假设。
三、模型的假设
观众对座位的水平视角的满意程度呈线性。
观众对座位的仰角的满意程度呈线性的。
忽略因视力或其他方面原因影响观众的满意度。
最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘。
。
对于同一排座位,观众对其满意程度相同。
四、符号说明
水平视角
仰角
地板线倾角
第一排离屏幕水平距离
屏幕高度
观众对水平视角为的满意程度
观众对仰角为的满意程度
对水平视角所取的权重
对仰角所取的权重
平均满意程度
五、模型的建立与求解
问题一
(1)模型的建立
以第一排观众的眼睛为原点,建立平面直角坐标系,如图1所示:
图1
其中,为屏幕,为地板线,为所有的观众的眼睛所在的直线。
设上任意一点的坐标为,其中=OP为过点作的垂线,垂足为,根据题意可知,其中,,,,
,。则有:
(1)
(2)
由公式转化可得到:
(3)
分别将(1)式和(2)式代入(3)式,可得到:
(4)
根据题意,在假设条件下,对于第排座位,本文建立观众对视角、仰角的满意度函数如下:
,
,
其中,分别表示在给定的情况下,能取得的最小值,最大值(在不影响结果或对结果影响不大的情况下,值可取为0),分别表示第排座位所对应的视角和仰角。
视角、仰角在综合满意度中的权重分别为,建立第排座位综合满意度函数如下:
(5)
(2)模型的求解
根据已知地板线倾角,,
,,本文主观给定,为了简化计算取,根据模型的建立,可以得出:
= (6)