文档介绍：§3-3 相平面法
相平面法是基于时域的一种图解分析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。
二阶时不变系统(可以是线性的,也可以是非线性的)一般可用常微分方程来描述。
式中,设输入信号为零, 表示系统中的某一个物理量, 是和的解析函数。
控制系统的任一动态过程可由状态变量来表示。
一、相平面的基本概念
:以和为横轴和纵轴构成的坐标平面.
:相平面上任一点
: 对二阶系统来讲,从某一初始状态出发,以时间t为参变量,便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
x
(x,,x)
持續振蕩
:
⑴与初始点(状态)密切相关.
⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.
二、相平面图绘制方法
:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.
设二阶系统
(*)
若令
则
直接积分,便解出相轨迹方程
并由此画出相轨迹。
整理上式并积分
其中
上式表示一族封闭椭圆,说明:ξ=0时的状态为临界稳定,但实际中不存在,将随时间不是发散就是收敛。
例:如无阻尼二阶系统
令则
,设初始条件为
等倾线方程
⒉图解法之一:等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
若令
二阶微分方程
令
满足相轨迹上的切线斜率为a
⑴画图原理:
据不同的斜率a可画出等斜线方向场(分布)可证明不同a不相交,则对确定初始点沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹(近似)
⑵画图步骤:
,沿相邻等倾线间的
平均斜率依次作短直线便可画得。
相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
说明:等倾线未必都是直线,另外,为保证精度,等倾线分布要有适当密度,密度可不一样。
例如
令
等斜线方程:
等斜线分布图.
相轨迹 A点
直线段交= -.
1
1
.
1
2
2
.
1
1
1
-
=
-
-
=
-
=
A,
过点
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为,则
2)相轨迹的对称性
按照图形对称的条件,关于横轴或纵轴对称的曲线,其对称点处的斜率大小相等,符号相反;关于原点对称的曲线,其对称点处斜率大小相等,符号相同。
a