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几类二阶隐式常微分方程的解法
李子萍
(临沧师范高等专科学校云南· 临沧 677000)
摘要本文讨论了不能从( , , , )= 0 中解出的几类二阶隐式常微分方程的解法。
关键词常微分方程二阶微分方程一阶隐式方程通解
中图分类号: 文献标识码:A
Sever al Solutions of Second-order Ordinary Differ ential Equations
LI Ziping
(Lincang Teachers' College, Lincang, Yunnan 677000)
Abs tra ct The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that ca nnot
be obtained from the ( , , , )= 0.
Ke y words ordinary differential equation; two order differential equation; first order implicit equa tion; the general solution
对于高阶常微分方程,一般没有固定的实际解法。在二∴= = ( , )
阶常微分方程( , , , )中,若能解出,则可用降阶法求原积分得: = ( , ) + 2
方程得的通解(见文[1]),但有些方程却不能解出。本文就因此, ( 为参数;1, 2为任意常数)
四类解不出的二阶隐式常微分方程进行求解。
1 形如= ( , )(a)的隐式常微分方程即为原方程(a)的参数形式通解。
令= ,则= = , 2 形如= ( , )(b)的隐式常微分方程
从而,方程( )可化为令= ,则= = ,
= ( , ) (1) 于是方程(b)化为:
两边对求导,得: = ( , ) (3)
= ( , )+ ( , ) 两边对求导得:
1
或[ ( , ) ] + ( , ) = 0 (2) = ( , )+ ( , ) (4)
为以为自变量,为未知函数的一阶微分方程,解得(2) 或[ ( , ) 1] + ( , ) = 0
的通解为= (1 , 1)或= (2 , 1)或( , , 1)= 0。为以为自变量, 为未知函数的一阶微分方程,其通解为
下面对这三种情况,求出原方程的通解。= (3 , 1)或= (4 , 1)或( , , 1)= 0。
(i)、若(2)的通解为= (1 , 1), 下面分别在三种情形下,求原方程(b)的通解。
代入(1)得: = = ( , (1 , 1)) (i)、若(4)的通解为= (3 , 1),
积分得: = ( , (1 , 1)) + (2 1 , 2为任意常数) 则方程(3)的通解为:
即为原方程(a)的通解。= ( , (3 , 1))
(ii)、若(2)的通解为= (2 , 1), 即= ( , (3 , 1)≡( , 1)) (5)
代入方程(1)得(1)的参数形式通解为: (a)若能从(5)中解出,