文档介绍：第七章 多项式有限域
群环域的关系
域
整区
体
半群
群
交换群
环
交换环
无零因子环
含壹环
§ 域的特征素域
域的特征
素域
例子:剩余类环I/pI, 为域当且仅当p为质数。
分析I/pI={ , ,…, },若I/pI为域,则有域为体知,无零因子。当p不是质数时p=st,1s,tp,知= = ,即它们是零因子,矛盾。
反之,若要证明I/pI为域,只要其中任意非零元素有乘法逆即可。已知p为质数,对任意的I/pI,有p为质数知与a互质,因此有整数的知识我们能够知道存在整数s,t 使as+pt=1,得到
= = = 因此为的乘法逆元。
域的特征
(F,+,·)中非零元素关于+运算的周期称为域F的特征。
例模7的整数环(Z7,+, ·)是域。Z7={0,1,2,3,4,5,6},该域的特征为7,如1+1+1+1+1+1+1=7(mod7)=0,
3+3+3+3+3+3+3=21(mod7)=0。模8的整数环(Z8,+, ·)是域吗?为什么?
我们可以证明整数环(Zp,+, ·)在p为质数时是域,它们是最为重要的有限域,域的周期与域的元素个数相等均为p。那么是否有元素个数不是质数的有限域呢?答案是肯定的,我们将在第6节详细讲解。
证明
分析,由域的定义知,域显然是一个消去环,.
这里的证明只不过是把任意不为0的a换成了e,≠0,则p一定为质数。
用反证法。设p不是质数,则
p = hk,1< h < p,1< k < p
因此,pe = (hk)e = (he)(ke)
而pe = 0。因为域中无零因子,这蕴涵he=0或
ke=0,和e的周期为p矛盾。
,那么当F的特征为质数p时,F包含一个与模p的剩余类环(域)同构的子域;当F的特征为0时,F包含一个与有理域Q同构的子域。
设F是一个域,е是F的壹,0’为F中的零,作映射:
σ:n→ ne,n I 。
则:
(1)σ是整数环I到F内的映射。
因为e F,2 e = e+e F,…,ne F,
故σ(I) F。σ(I) ={…,-2e,-e, 0’,e,2e,…}
(2)σ是整数环I到F内的同态映射。
因为σ(m+n)=(m+n)e =me+ne=σ(m)+σ(n),
σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n) 。
若F的特征p为0
由于σ的核0I只含0,所以 I′和I=I/pI同构。
I′还不是一个域,故扩充σ: (n≠0)
往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。
(1) 先证σ为有理域R0到F内的一个单射。
若h/k = m/n,则hn = km,因此,
(he)(ne)=(ke)(me),
故, he/ke = me/ne,
这就是说,由σ所规定的m/n的映象由m/n唯一确定,而与这个有理数的表示方法无关。即σ是单射。
再证σ为同态映射。
R0是一个域而σ不是把它的所有元素映到0’,
所以,σ是R0到其映象
的同构映射。F的任意子域要包含e,e的整数
倍及其逆,即包含,所以,F包含和R0同构的为其最小子域。