文档介绍：重积分
第三节三重积分的计算方法
第三节三重积分的计算法

化成三次积分
仿照二重积分研究其计算方法:
在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域分成
n 份(大部分是小长方体),可知:
体积元素
z
x
y
D

坐标轴的直线相交不多于两点.
例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.
D为在 xoy 面上的投影域.
上下曲面为:
若D是X型域
先对z后对y再对x的三次积分
同理,可将投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺
序的三次积分:

,利用积分可加性计算.
例1 计算
解
其中由三个坐标面及
围成
将向 xoy 面作投影,则
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
例2 计算
其中由及
围成
4
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
柱面坐标系
这是因为:
如果用三组坐标面划分,大部分子域为小柱体,
近似看作长方体,则:
化成三次积分
前面例2 计算
其中由及
围成
4
三. 在球面坐标系中的计算法
设空间一点M(x,y,z)可用下列三个数确定:
则称为点M 的球面坐标.
变化范围
与直角坐标的关系
(1).点M与原点的距离 r ;
(2). 与 z轴正向的夹角;
(3). 在xoy面上的投影向量与z 轴的夹角.
z
x
y
M
P
r
体积元素
这是因为:
如果用三组坐标面划分,大部
分子域为如图小立体,近似看作长方体,则:
化成三次积分
坐标面
常数
常数
常数
以原点为心的球面
过z轴的半平面
以原点为顶点,以为半顶角的圆锥面.
例3 计算
其中由
围成.