文档介绍：数值代数实验报告
实验名称:用共轭梯度法解线性方程组。
实验目的:进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路,提高matlab编程能力。
实验要求:已知线性方程矩阵,应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
实验原理:
共轭梯度法:
考虑线性方程组
的求解问题,其中A是给定的n阶对称正定矩阵,b是给定的n维向量,,定义二次泛函
.
定理1 设A对称正定,求方程组的解,等价于求二次泛函的极小值点.
定理1表明,,通常好像盲人下山那样,先给定一个初始向量,确定一个下山方向,沿着经过点而方向为的直线找一个点
,
使得对所有实数有
,
,再确定一个下山的方向,沿着直
线再跨出一步,即找到使得在达到极小: .
重复此步骤,得到一串
和,
称为搜索方向,,先在点找下山方向,再在直线上确定步长使
,得到各种不同的算法.
由此,,

,

所确定的即为所求步长,即
.
步长确定后,即可算出
.
此时,只要,就有

即.
,但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向,——共轭梯度法.
下面给出共轭梯度法的具体计算过程:
给定初始向量,第一步仍选用负梯度方向为下山方向,即,于是有
.
对以后各步,例如第k+1步(k1),下山方向不再取,而是在过点由向量和所张成的二维平面
:

.
计算关于的偏导得:
其中最后一式用到了,
,
即知在内有唯一的极小值点
,
其中和满足
由于必有,所以可取
,,则可得
注:这样确定的满足,即与是相互共轭的.
总结上面的讨论,可得如下的计算公式:
, ,
,
, .
在实际计算中,常将上述公式进一步简化,:
.
因为在计算是已经求出,所以计算时可以不必将代入方程计算,而是从递推关系得到.

.
从而可导出
,
.
由此可得
, .
从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下:
初值
;
while
if

else

end
end
注:该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵做一次矩阵向量积运算.
定理2 由共轭梯度法得到的向量组和具有如下基本性质:
(1),
(2), ,
(3), ,
(4),
其中
,
:
定理3 用共轭梯度法计算得到的近似解满足
或
,
其中,是方程组的解,是由所定义的Krylov子空间.
定理2表明,向量组和分别是Krylov子