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高中数学知识易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},
集合
B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈
R},N={y ｜y=x 2
+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2
+1,x
∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的
子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222
a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位
得到的；函数()a x f y +=()0( a 个单位得到的；
函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
2
)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；
复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域
14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y =a sin 2
x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达
15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则 ①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()().b f 1
a b a f
=?=-互为反函数的两个函数的图象关于直线
y=x 对称,
16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f
y 1
-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不
一定单调．
17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 19、你知道函数()0>+
=a x
a x y 的单调区间吗？
（该函数在(]a -∞-,和
[
)
+∞,a 上单
调递增；在[)0,a -和(]
a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零
且不等于1）字母底数还需讨论呀. 21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a
b
b a n a
c c a n log log ,log log log ==
） 22、你还记得对数恒等式吗？（b a
b
a =log ）
23、 “实系数一元二次方程02
=++c bx ax 有实数解”转化为“042
≥-=?ac b ”，你
是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042
≥-=?ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情
形？
二、三角、不等式
24、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公
式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特
征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定
义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 26、
在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2
2
2
2
tan sec cos sin 1-=+=
ΛΛ====?=0cos 2
sin
4
tan
cot tan π
π
x x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种
代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 27、
在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如
,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=
??
?
??--??? ??-=+βαβαβ
α222
等）
28、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函
数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 29、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特
殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2
x=(1-cos2x)/2 30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（4
1
518sin ,42615cos 75sin ,42
675cos 15sin -=?+=?=?-=?=?） 31、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 2
1
,==扇形α)
32、
辅助角公式：()θ++=
+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,
b 的符号确定，θ角的值由a
b
=
θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、
对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：
振幅|A|，周期T=
ω
π
2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，
使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大
于零.） 41、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 42、
利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2
2??
?
??+≤b a ab 等求函数的最值时，你是
否注意到a ，b +
∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 43、
) R b , (a , b
a 2ab
2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，
取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；
44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关
键．” 46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列 47、
等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2）
仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --
（3）若三数成等差数列，则可设为a-d 、a 、a+d ；若为四数则可设为a-d 23、a-d 21、a+d 2
1、a+d 2
3；
（4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,dn a ，则{n a a log }是等差数列. 48、
等比数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?；（2）k S ，
k k S S -2，k k S S 23-成等比数列
49、
你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（1=q 时，
1na S n =；1≠q 时，q
q a S n n --=
1)
1(1） 50、
等比数列的一个求和公式：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q , 则
n m m n m S q S S +=+．
51、
等差数列的一个性质：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n a 为等差数列的充要条件
是
bn an S n +=2 （a, b 为常数）其公差是2a.
52、
你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n b a c =，其中{}n a 是等
差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项的和） 53、
用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到11S a =了吗？ 54、
你还记得裂项求和吗？（如
1