文档介绍：2017/12/7
自适应信号处理
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第四讲归一化最小均方(NLMS)自适应滤波算法
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CONTENT
NLMS算法推导过程
NLMS算法稳定性
NLMS算法在回声消除中的应用
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为什么归一化?
如何归一化及归一化的稳定性
回声消除应用
仿射投影滤波器应用
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为什么归一化?
由第五章的传统的LMS滤波器的标准形式
从上式可以看出n+1次迭代中应用于滤波器抽头权向量的失调为w(n+1)-w(n)
由以下三点影响:
u (由设计者控制)
(n) (由信息源提供)
(n)或复数据估计误差e*(n)(n次迭代计算的结果)
可知失调与抽头输入向量u(n)成正比。我们在调整滤波器的权向量使滤波器达到稳定状态的过程中,应当使权向量以最小方式改变,这样才能的得到最优解。当u(n)较大时,出现梯度噪声放大问题。归一化:n+1次迭代时对抽头权向量的失调相对于n次迭代时抽头输入向量u(n)的平方欧式范数进行归一化。
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(1)在结构上,归一化LMS滤波器与标准LMS滤波器完全一样,都是横向滤波器。区别在于权值控制器的机理,如下图
横向滤波器w(n)
自适应控制算法
∑
—
+
输出信号y(n)
期望响应d(n)
误差信号e(n)
输入向量u(n)
自适应横向滤波器框图
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最小化干扰原理:从一次迭代到下一次中,自适应滤波器的权向量应当以最小方式改变,而且受到更新的滤波器输出所施加的约束。
归一化LMS滤波器设计准则表述为约束优化问题。
即给定抽头输入向量u(n)和目标响应d(n),确定更新的抽头向量w(n+1),使得增量
的欧式范数最小化,并受制于以下约束条件
我们应用拉格朗日乘子法来解决这个约束优化问题。
代价函数为
其中Re[.]表示取实部运算,约束对代价函数的贡献是实值的; 为复数拉格朗日乘子,*表示复共轭; 表示欧式范数的平方运算,其结果也是实值的。因此代价函数J(n)是实值的二次函数,且表示为
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为了得到代价函数为最小的最优更新权向量,推到如下:
第一步;代价函数对w(n+1)求导,得:
令其为零,得最优解为
第二步; 将第一步的结果带入式(2)得
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对求解得
其中
是误差信号。
第三步;由上两步的结果,表示增量变化的最优值。
故归一化LMS算法抽头权向量期望的递归结果为
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为了对一次迭代到下一次迭代抽头权向量的增量变化进行控制而不改变向量的方向,引入了一个正的实数标度因子。
故得到归一化抽头权向量的递归方程
以上便是解决了当u(n)较大时,造成的LMS滤波器的梯度噪声放大的问题。
而当u(n)较小时,不得不用较小的平方范数除以,以致有可能出现数值计算困难。故将递归方程修改为;
其中
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期望响应d(n)多重回归模型控制,重写如下
加权误差向量为
于是从w中减去式得到
以均方偏差
为基础,进行稳定性分析。对式两边取平方欧式范数,并取期望值得:
其中是无干扰误差信号