文档介绍：将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.
§ 三重积分及其计算
一、三重积分的概念
三重积分的物理背景
以(x, y, z)为体密度函数的空间物体的质量.
首先, 将闭区域任意分成 n个小闭区域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为空间物体的质量M, 即
当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何意义.
下面我们给出三重积分的定义:
定义: 设f(x, y, z)是空间有界闭区域上的有界函数, 将闭区域任意分成n个小闭区域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积 f(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域
上的三重积分, 并记为
即
其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.
同样有: 闭区域上的连续函数一定可积.
在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标的)平面 x=常数, y=常数, z=常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:
dv = dxdydz.
三重积分可写成:
由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质, 不再叙述.
二、三重积分在直角坐标系中的计算法
与二重积分类似, .
(x, y)
z=z1(x, y)
z=z2(x, y)
①先单后重:
设闭区域在xoy面的投影为闭区域Dxy .
在闭区域Dxy内任取一点(x, y), 作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.
穿入时的下边界曲面方程:
z=z1(x, y)
穿出时的上边界曲面方程:
z=z2(x, y)
先将x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函数, 则积分
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy 上的密度函数.
(x, y)
z=z1(x, y)
z=z2(x, y)
y=y1(x)
y=y2(x)
a
b
由三重积分的物理意义, 若将f(x, y, z)理解为闭区域上的体密度函数, 那么三重积分
表示空间物体的质量M.
则函数F(x, y)可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.
则质量M等于F(x, y)在平面薄片Dxy上二重积分:
即
下面只需将二重积分化成二次积分:
不妨设Dxy为X—区域: y1(x) y y1(x), a x b.
则
此方法也称为先一后二, 或切条法(先z次y后x, 或先z次x后y)
注意: 这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形.
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.
化三重积分为三次积分的步骤:
⑴投影: 得平面区域;
⑵穿越法定限: 穿入点—下限, 穿出点—上限.
对于二重积分化为累次积分的方法, 已经介绍过.
o
x
y
z
Dxy
例1: 将三重积分
化成三次积分,
其中为长方体, 各边界面平行于坐标面.
解: 将投影到xoy面得Dxy ,
它是一个矩形: c y d, a x b,
在Dxy内任取一点(x, y)作平行于z 轴的直线, 交边界曲面于两点, 其竖坐标为l 和m(l < m).
a
b
c
d
(x,y)
m
l
例2: 计算
平面x+y+z=1所围成的区域.
Dxy
x
y
z
o
其中是三个坐标面与
解: 画出在xoy面上的投影区域
Dxy: 0 y 1–x, 0 x 1,
平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1–x–y, 有 0 z 1–x–y.
x+y+z=1
x+y=1
解: 画出积分区域的草图.
其中积分区域为由曲面z=x2+y2, y=x2, y=1, z=0所围成的空间闭区域.
例3: 化三重积分为
三次积分,