文档介绍：高新一中八年级数学下册自学导案(19)
课题:分解因式小结与复习
一、本章知识结构图
分解因式的意义:基本概念及与整式乘法的关系。
分解因式提公因式法: 关键是确定公因式
运用公式法平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2
二、基本知识点回顾
1、把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
这一概念的特点是:
(1)多项式因式分解的结果一定是积的形式;
(2)每个因式必须是整式(单项式或多项式);
(3)各因式要分解到不能再分为止(本章,只在有理数范围内研究因式分解)。
例如:下列从左到右的变形是否为分解因式?
(1)(x+3)=x+6 x +9(2)x-2x+3=x(x-2)+3
(3)x²y²-1=(xy+1)(xy-1)(4)x+1=x(x+)
(5)2ab=2·a·a·a·b
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式,而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘,也就是说,因式分解是整式乘法的逆变形,例如
整式乘法整式乘法
m(a+b-c)←───→ ma+mb-mc (a+b)(a-b) ←────→ a2-b2
因式分解因式分解
知道了这种区别和联系,就可以(1)明了因式分解的意义;(2)把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法;(3)利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。
3、我们把多项式各项都含有的,叫做这个多项式各项的公因式。
例如:①的公因式为;②的公因式为
4、因式分解的基本方法
(1)提公因式法:这是因式分解的基本方法,只要多项式各项有公因式,首先把它提出来。
(2)运用公式法:
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2
立方和(差)公式:a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2)
这里的a、b既可以是单项式,也可以是多项式。
例如:(1)下列多项式,不能运用平方差公式分解的是( )
A、 B、 C、 D、
a1 c1
a2 c2
(2)下列各式可以用完全平方公式分解因式的是( )
图1
A、 B、
C、 D、
(3)十字相乘法:用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。
ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)·(a2x+c2)就是说:a分解成a1、a2;c分解成c1、c2,将a1,a2,c1,c2排列成如图1, 若按斜线交叉相乘,再相加正好得a1c2+a2c1=b,则ax2+bx+c分解因式为(a1x+c1)(a2x+c2)。
(4)分组分解法:分组的原则是:把各项适当分组,先使因式分解能分组进行,再使因式分解能在各组之间进行,并且一直进行到底。
评注:分组分解法的关键是要掌握几种方法(提公因式法、运用公式法或十字相乘法)后,能纵观全局,在分组时就预见到下一步因式分解的可能性。没有对前面三种方法的熟练掌握,分组分解就无从下手,不掌握分组的思想,前面学过的方法,用起来就会有很大的局限性。
以上四种基本方法是彼此有联系的,并不是一个多项式就固定只能用一种方法分解因式。
5、因式分解的一般步骤: