文档介绍：第四章
§ 协方差、相关系数
二、协方差和相关系数的计算公式
一、协方差和相关系数的概念
三、协方差和相关系数的性质
第十五讲
一、协方差和相关系数的概念
回忆:上节关于方差的性质,
考虑该命题的逆否命题亦为真命题,即
根据期望的性质,,则有
即
也就是存在一定的关系,协方差和相关系数就是反
. X和Y不相互独立,
应分量X和Y之间关系的数字特征。
定义1 设(X,Y).,若
存在,,记为Cov(X,Y),即
故有
定义2 当时,称
。
注:① Cov(X,Y)。
②是一个数值。
③
④
二、协方差和相关系数的计算公式
协方差常用计算公式
定义3 若Cov(X,Y) = 0,称X与Y不相关。
注: X与Y不相关是指不存在线性关系,但可能存在
其它关系,如Y=SinX, Y=X2等等。而前面所学的
X与Y独立是指不存在任何关系。
结论: X与Y独立 X与Y不相关
X与Y相互独立
X与Y不相关
关系图示
三、协方差和相关系数的性质
①
对称性
②
双线性性
③
特殊地
④
⑤
⑥
⑦,则有:
ⅰ
ⅱ
存在常数a,b, 使得
证明:
记
则
而
故
注: 是用来刻画X与Y之间线性关系程度的一个
大,则线性关系较好。
数量指标, 较小,则线性关系较差; 较
X与Y正相关;
X与Y负相关;
X与Y不相关。
Y
pk
-2
0
1
X
pk
-1
1
XY
pk
-2
0
1
2
-1
解: X、Y和XY的分布列分别为
已知二维 . (X, Y)的分布列为
试求X和Y的协方差和相关系数。
X
Y
-1
1
-2
0
1
例1