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一、猜想、探究题
1. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
y
x
B
D
O
A
E
C
（3）若点D是线段AB上的一种动点（与点A、B不重叠），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范畴．S与否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请阐明理由．
2. 已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
E
D
C
A
F
B
x
O
y
l
E
D
C
O
F
x
y
（图1）
备用图
（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，与否存在点使得与相似？若存在，请求出全部符合条件的点的坐标；若不存在，请阐明理由．
3. 已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建
立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重叠），现将沿翻折
得到，再在边上选用合适的点将沿翻折，得到，使得
直线重叠．
（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为什么值时，获得最大值？
C
y
E
B
F
D
A
P
x
O
图①
A
B
D
F
E
C
O
P
x
y
图②
（3）在（1）的状况下，过点三点的抛物线上与否存在点使是觉得直角边的直角三角形？若不存在，阐明理由；若存在，求出点的坐标．
4. 如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系中与否存在点P，与A、B、C三点构成一种平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请阐明理由；
O
D
B
C
A
E
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上与否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请阐明理由．
5. 如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上与否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请阐明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
y
C
A
M
O
B
x
图①
y
C
A
O
B
x
图②
二、动态几何
6. 如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一种动点达到终点时，另一种动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为什么值时，与互相平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为什么值时，有最大值？最大值是多少？
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
7. 已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．
y
x
O
D
E
A
B
C
8. 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数体现式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点是线段上的一种动点（不与点O、点C重叠）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试阐明与否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请阐明理由．
A
C
x
y
B
O
9. 如图1，已知抛物线通过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为；矩形
的顶点与点重叠，分别在轴、轴上，且，．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相似的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图2所示）．
①当时，判断点与否在直线上，并阐明理由；
②设觉得顶点的多边形面积为，试问与否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请阐明理由．
y
x
M
B
C
D
O
A
图2
P
N
E
y
x
M
B
C
D
O
(A)
图1
E
10. 已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式．
（3）以下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上与否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请阐明理由．
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
y
x
O
【提示：抛物线（）的对称轴是顶点坐标是】
11. 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1有关x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M有关点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
y
x
A
O
B
P
M
图1
C1
C2
C3
y
x
A
O
B
P
N
图2
C1
C4
Q
E
F
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、．抛物线过两点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．过点作交于点．
①过点作于点，交抛物线于点．当为什么值时，线段最长？
②连接．在点运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？
请直接写出对应的值．
y
O
x
A
F
D
Q
G
E
P
B
C
13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都通过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上与否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请阐明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
图1
图2
14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
D
E
B
P
A
C
Q
15. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点
、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一种交点D的坐标；
（2）如果正好为的直径，且的面积等于，求和的值．
16. 如图，点坐标分别为（4，0）、（0，8），点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且．设，矩形与重叠部分的面积为．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形的顶点在直线上时，求的值；
B
C
O
E
D
A
x
y
（2）当时，求的值；
（3）直接写出与的函数关系式；（不必写出解题过程）
（4）若，则 ．
17. 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时达到点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
x
A
O
Q
P
B
y
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
18. 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新办法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的二分之一．
A2
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2） 求△CAB的铅垂高CD及；
图2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一种动点，与否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，
求出P点的坐标；若不存在，请阐明理由．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上．已知某二次函数的图象通过、、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一种动点（点与、不重叠），过点作轴的平行线交于点
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点的横坐标为用含的代数式表达线段的长．
（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1
20. 如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：
（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；
（3）求与之间的函数关系式．
P
Q
A
B
C
D