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1949年，Hestenes和Stiefel提出了著名的共轭梯度(CG)方法，是其中一种优化算法。这个算法主要用来解决线性方程组问题。后来该方法被推广，用于非线性方程组问题，并被证明在这样的问题上效率很高。然而，大规模非线性单调方程组有时会带来计算上的困难。因此，有必要研究无导数共轭梯度方法（NCG）来处理这些问题。
在接下来的讨论中，我们将首先介绍共轭梯度方法的基础和原理，在此基础上，介绍无导数共轭梯度方法及其实现。然后，我们将讨论该方法以及与其相关的一些变体的性能和瓶颈，以及使用NCG求解大规模的非线性单调方程组的一些实际案例。
共轭梯度方法是求解对称正定线性系统的一种有效算法。该算法通过将线性方程系统转化为一个较小的系数矩阵的乘积的形式来解决问题。根据这种方法，我们可以得到一个公共收敛速度为O(n)的最优线性系统解。特别的，在共轭梯度方法的每一步中，向量p-Krylov空间中最优地最小化残差向量的解是唯一的，所以称其为「共轭」方向。
与传统的梯度下降算法不同，共轭梯度法在一组彼此正交的方向中计算方向，以使解在每个方向上的残差为零。这意味着方向被高度优化，单个操作可能具有更高的影响，因为计算方向的过程涉及到内积和向量向量乘法。该方法还可以节省大量的内存和计算时间，因为在共轭方向上只需要储存两个向量。
然而，在现实问题中，很少有非线性方程组不带有导数子项的情况。当方程组中有导数不明确或者不适合求导的时候，无导数共轭梯度方法是一种很有效的算法。该方法仍然依赖于计算残差向量的方式，但没有显式的导出算子。其求解方程式的基础是约束梯度方向的共轭性和黄金断点的概念。在此方法之中，常常使用一些非线性条件线搜索技巧来使搜索更稳定。
一个常见的困难就是一个方向或多个方向共轭性不好或者完全不存在。两个向量是共轭的意思是，互相垂直即内积为零。在实际问题中，共轭方向的如此垂直性质是不可能精确的。
无导数共轭梯度方法在求解大规模非线性单调方程组时有很好的表现，这些类型的问题通常在计算机视觉、图像处理领域中广泛存在。然而，当问题变得更加复杂或具有随机性时，该方法表现可能会不佳。
总体来说，无导数共轭梯度方法是求解大型非线性单调方程组问题的一种有效算法，它通过寻找共轭方向来优化搜索策略，同时保留了共轭梯度方法的内积和向量向量乘法效率优势。合理的非线性搜索技巧可以进一步提高性能，使得该方法在处理实际问题和异质性数据时更加有用。