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.?7(第4期?初中版)57 再谈蚂蚁爬行试探最短路程
311800浙江省绍兴市第一初级中学教育集团徐伟 《中学数学教学参考))2OLO年第1—2期发表了费孝 文老师的《探求蚂蚁爬行的最短路线路》一文,笔者认真 研读后,深深地为文中的学生能自发提问,自主解答的 创新精神所折服,更为费老师由浅入深,环环相扣的问 题串设计所佩服,特别是最后的一种问题分类讨论的运 用, 法及过程,笔者存有某些疑问和见解,现借《中学数学》
与费老师商榷,如有不当之处,敬请批 这个平台提出来,
评指正.
1问题回放一瞥
问题1如图1,一种边长
为1cm的正方体,一只蚂蚁从
点A出发,沿着正方体的表面
爬行到点的最短路程是多
少?图1
甸c图2图3
恰到好处的点 本节课在学生的主体参及教师及时,
拨下, 题1, 2,在学生及时,精彩的提问下,教师适时,合适的诱导 下,最后学生得出:在选择展开面时,应选择含有较短的 两条棱的两个面展开并计算,这样就能得到最短路程. 而对于问题3,同样在师生绝佳的配合下,学生得出:
一
A2
?当音>时,L.<,即选择高和直径走最短; A2
?当r=时,L,=L2,即两条线路爬行路程相
等;
?当}<42时,.>,即选择"先展开后摊平再 计算两点之间线段的长度",这样最短.
2问题拙探二法
但是,笔者认为该题的解B
题过程还不够严密,这样草率
为蚂蚁从点A出发沿着圆柱A
体的表面爬行到C点的路图4
C
程,除了以上两种外,
图4所示:A—D—C(AD是曲面间的最短距离,DC是上 底面两点之问的线段长度.)其中,D点的不拟定性,决 定了从A到c的爬行途径有诸多个,终究哪一种走法路 程最短?尚不清晰,为了探究方便,我们不妨设A—D— c的爬行路程为厶.
考虑到规定两点间的距离,我们可将圆柱体展开, 如图5所示:在这里L.=AB+BC,=AC,L3=AD+DC
(这里BC是上底面的直径,DC是上底面两点之间的线 段长度)
/D/c//
图5
设COD=a,则由余弦定理得CD=2r2—2r2eos~t,
即CD=?,=.
BD=一(1一,
,
58中?7擞I?(#-).交流平台. AD+DC
=
?n【(,一盖)订r『+?.
而Ac=~//+订r2及AB+c=h+2r.
因AD+DC,AC及AB+BC大小的比较涉及到某些 较复杂的函数,故笔者采用几何画板进行辅助探究.
图6
在该实验中,我们取h=BC=4em,21Tr=AB=24era,
>42这种状况
,在实验中我们验证了厶<,
但的变化状况是先从与相等开始增大,然后再变小 到与相等,即中间大两头小.
图7
同样在该实验中,我们取h=BC=4em,2,trr=AB=
—
A2
,符合T/-<.-这种状况,在实验中我们得到"1r一' L.>L2,但厶的变化状况是从与相等开始始终增大到 .
从以上两个例子能够看出:从A到C确实有诸多路 径能够走,其中我们通过几何画板也找到了最短路程. 但几何画板终究是实验探究,它无法替代数学的最高权 威——证明.
3教学反思三得
因此,我们应多借助于各类数学期刊杂志,同全国 各地的同仁们探讨, 的教学中我们教师应多注意反思,在带领学生进行问题 探究时, 在课后要作好充足的准备工作,看待每一种问题,都应 ,反思探究办法的合理性与 适应性——与否适合学生目前的知识架构?与否处在 学生的近来发展区?反思探究办法的操作性与严谨 性——与否为学生所能操作的?与否包含了全部可能 的状况?在准备中不停提高本身的专业素质,在教学中 不停改善本身的教学方式,形成有助于学生发展的教育 风格, 育心得,适时地和同仁进行探讨,以求更全方面的发展.
学生除了理解老 面对课堂上老师提出的各类问题,
师的思维途径外,还会融入本身的思考,从而发现问题, , 老师应当将这个烫手山芋进行冷却,而不是毫无犹豫地 ,老师也有可能一时没有 思路,这时,老师就应当全方面调动学生的主体性,一起探 究,让这堂课成为真正意义上的探究课,而不是盲目地 ,相信这 个山芋会香气四溢,并且同样可口的山芋也会源源不停 地从学生中,从课堂上冒出.
这个蚂蚁爬行问题,已多B
次出现在教材,教辅中,能够说
是一类典型老题吧!在中考试
题中也频繁露脸,例如,
年贵阳中考:如图8,一圆柱体
的底面周长为24em,高佃为A
4cm,BC是直径,一只蚂蚁从点图8
C
出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大概 是
(下转第63页)
?数学园地?十'7擞?7(2OLO年第4期?初中版)63 由杠杆平衡原理(为避
免出现分数)取C(6),
E(15),A(4),可得r(1o).E(15) 再视为平衡杠杆,G
为支点可得EG:GF=2:(6)
点评此题不能直接求图8
解,连接EC后, 五条线段中的比值,只要给出其中任意三个比值,就可 以求出其他两个比值.
例4(江苏省第二十届初
中数学竞赛第1试)如图9,
AABC?中,AD,BE相交于点0,
BD:DC=3::EC=2:1. 那么SaBoc:SAAOC:SzA?为8(4)D(10)c(6) :3::3:5图9
:4::4:6
解由BD:DC=3:2,视BC为一平衡杠杆,D为一 支点,由平衡条件知B(4),c(6),因而D(10), 同理由AE:EC=2:1,得A(3),
以AD为平衡杠杆,0为支点可得,AO:DO=10:3,
因此SaAOn:.s?脚=SAAOC:Sz伽=10:3. ?聊:.s?coD=3:2,
因此SAAOB:Sz脚:S?coD:S?^Dc=30:9:6:20,
S?贼:SaAoc:SaA加=15:20:30=3:4:6, 因而选D.
点评此题先运用杠杆平衡原理求线段比,后求面 .
例5(20o7年山东省初中
数学竞赛题改编)如图10,在
AABC中的边BC,AC上分别有点
E,F,且满足BE:EC=CF:FA= 0:b(n>b),当BF平分AEBEC
时,则詈的值为图0
A.
c...地
2
解视BC为一平衡杠杆,E为一支点,由平衡条件 知B(b),C(ab),得E(b+o6),
视AC为一平衡杠杆,F为一支点,由平衡条件知A (0),
视AE为一平衡杠杆,0为一支点,由于AO=OE由 平衡条件知
口=b+.
解之得詈:,D
故选C.
点评此题运用杠杆平衡原理得到方程,解方程求 出了比值,解题过程简朴明了.
(收稿日期:201~129)
(上接第58页)
青海中考:如图9,有一
圆柱体,它的高为20cm,底面半径
为7crrL在圆柱的下底面A处有一
个蜘蛛,它想吃到上底面上与A点
相对的点处的苍蝇,需要爬行的
最短途径是cm.
,4
在这些试题中均存在这样或那
样的问题,这些试题确实需要改动图9
一
下,那终究如何改动呢?应当说北师大版教材给了我 们一种较好的启示,它将"沿着圆柱体的表面爬行"中的 "表面"改为"侧面",从而聪颖地,毫无争议地解决了这 个问题.
参考文献
[J].中学数学教学参 考,,1—2
[J].中学数学教学参考,
[M].北京:北 京师范大学出版社
(收稿日期:201~227)