文档介绍：教学课题:§5 (续)
教学目的:1、理解并掌握牛顿—莱布尼兹公式;
2、熟练掌握定积分的换元积分法则和分部积分法则;
教学重点:定积分的换元积分法则和分部积分法则
教学过程: 
    引入定积分的性质之后,我们所面临的一个基本问题就是定积分的算法。前面已看到,直接用定积分的定义
来计算定积分是非常困难的。在古代,也只有极少数像阿基米德(Archimedes 公元前287~212古希腊数学家、物理学家)那样罕见的天才,方能巧妙的用“分割、作和、取极限”的方法解决某些二次曲线及曲面所围成的图形的面积和体积问题,并且他们关于求积问题的种种结果和方法也都是孤立的。所以,人们一直在寻求比较切实可行的、统一的方法来计算定积分。直到17世纪的后叶,牛顿和莱布尼兹几乎同时发现了定积分和不定积分之间有密切联系,通过这一联系就可以用不定积分来计算定积分。这就是所谓的牛顿-莱布尼兹公式。现在我们来介绍这一著名公式。
变限积分与原函数的存在性 
如果函数,根据3节性质3,对,函数在的子区间上也可积,于是有唯一的积分值
与对应。根据函数的定义,这个积分确定了一个定义在上的函数,记作
称为变上限的定积分(或称变上限积分函数)。同理也可定义变下限的定积分(或称变下限积分函数)
统称为变限积分。
如果,。从几何上看。对于,积分上限函数在点的值是区间上的曲边梯形ABEF的面积,。
(原函数存在定理) 如果函数,则积分上限函数
在区间上可导,且。
证对于,设有改变量,且,有
根据积分中值公式,有
 
由于函数在点处连续,得到
即                                                       (1)
。从这个定理还知道,如果函数在区间
上连续,那么积分上限函数就是的一个原函数。因而也同时证明了在1节中引用过但未加以证明的结论:在区间上连续的函数恒有原函数存在。
积分上限函数是函数的一种新的表示方法,讨论数学分析中的某些问题是离不开积分上限函数的。
当然像对其它函数一样,我们也可以讨论积分上限函数的分析运算。
例1 求下列函数的导数
⑴               ⑵
⑶
解  ⑴由于,,有
⑵  由于。故
⑶  由于,故
例2 求函数的的导数。
解令,则
根据复合函数的求导法则,有
仿照例2的讨论过程,不难得出如下结论。
若函数连续,可导,则变上限积分可导,且
更一般的,对变上、下限积分求导,有
例3         求极限
解  有洛比达法则,有
例如4 设且
⑴试证:,使得在区间上以为高的矩形面积等于区间上以为边的曲边梯形面积(图 2)
⑵又设在区间(0,1)内可导,且,
证明(1)中的是唯一的。
解(1)设函数
                  
则,且。在[0,1]上对应用洛尔定理,知至少存在一点使得,即
或
即上的矩形面积等于上的曲边梯形面积。
⑵设函数
则
 
所以函数在内(0,1)严格单调减少,故使得的是唯一的,即(1)中的是唯一的。现在我们指出,在推导牛顿-莱布尼兹公式时,事实上不必要要求函数是函数在闭区间上的原函数,我们可以把牛顿-莱布尼兹公式(4)在更一般的假定下建立起来.
定理9. 如果函数,而在区间上连续的函数,有或除去有限个点外处处有导数,则
   (5)
【证】任取区间的分法
且使不满足式的有限个点总包括在中间,由于,有
,则上式中出现的函数的积分和时,,保持着常数值的这一和数也收敛于此积分,即
例6  计算
解虽然时,有
但处却不可导,注意到,
有了牛顿-莱布尼兹公式,我们可以将连续函数的定积分的计算转化为寻求被积函数的原函数的问题,,虽然从理论上证实了连续函数一定有原函数,但求原函数有时是非常困难的,-莱布尼兹公式来实现。
二、定积分的换元积分法与分部积分法
应用换元积分法计算定积分时,变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的。在不定积分时,积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时,相应的改变积分的上、下限。不必再换回到原来的积分变量,可以简化定积分的计算。
一般定积分的换元积分法叙述如下:
,若函数在区间连续可微,且当时,则