文档介绍：****题二十特征值与特征向量相似矩阵
一、填空题:
;若是阶方阵的个特征值,则,.
,则 6 , 2/9 .
,有非零解,则必有一特征值为 0 .
,则有一特征值为,对应于此特征值的一个特征向量是.
,则有一特征值为.
,则-2,1 .
二、求下列矩阵的特征值和特征向量:
1. 2.
解:, 解:
因此,. 因此
当时,解方程组, 当时,解方程组
故属于的特征向量为. 故属于的特征向量为.
当时,解方程组, 当时,解方程组
,
其中不全为零.
三、设方阵与相似,求.
解:因为与相似,所以,从而,
,即
,所以.
四、设三阶方阵的特征值为,,,对应的特征向量依次为,
,,求.
解:令,则
,
所以,
=.
五、设是阶阵的特征值,,分别是的属于的特征向量,证明:不是的特征向量.
证明:,则
, (1)
由于分别是的属于的特征向量,所以
, (2)
由(1)、(2)可得:
,
所以
,
因为,所以线性无关,.
六、设是阶方阵,证明:与有相同的特征值.
证明:下证当是的特征值时也是的特征值,反之亦然.
当时,
=
=
=.
当时,
.
所以,与有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.
七、证明:
如果可逆,则与相似.
2)如果可逆,,则.
3)如果与相似,与相似,则与相似.
证明:1)因为可逆,所以所以与相似.
2)因为可逆,,所以,所以可逆.
存在可逆矩阵,使得,两边取逆从而有
,即
,亦即,所以.
3)如果与相似,与相似,则分别存在可逆矩阵使得
,
令,则,从而
=.因此与相似.
八、设为两个阶矩阵,且的个特征值两两互异,若的特征向量恒为的特征向量,则.
证明:因为的个特征值两两互异,所以可对角化,设的分别属于的特征向量(它们是线性无关的),令
,
又因为的特征向量恒为的特征向量,所以也有个线性无关的特征向量,,
=.
所以,.<br****题二十一特征值与特征向量相似矩阵(续)
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填空题:
,则与的特征值相同;阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.
,是的对应于的一个特征向量,是矩阵的一个多项式矩阵,则的特征值是,其相应的一个特征向量是.
,则 1,-2 .
,的个特征值分别为,则
!!.
二、已知是矩阵的一个特征向量.
1)试确定系数及特征向量所对应的特征值.
问在实数范围内能否相似于对角阵?说明理由.
解:1)设是的对应于特征值的特征向量,则
所以,,从而.
2)
上述特征方程在实数范围内只有一个解
因此在实数范围内不能相似于对角阵.
三、判断下列矩阵是否与对角阵相似,如果相似,求出相似变换矩阵,使得为对角阵:
1. ;
解:由知的特征值为当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,由于只有两个线性无关的特征向量,所以不可与对角阵相似.
2..
解:由知的特征值为当时,解方程组,
是的属于的线性无关的特征向量,当时,解方程组,
,
则有.
四、设矩阵与矩阵相似,其中,.1)求和的值;2)求可逆矩阵,使得.
解:1)因为矩阵与矩阵相似,所以有相同的特征值、
,所以有特征值-2,:,.
2),则有.
五、设,求1)的所有特征值与特征向量;2)判断能否对角化,若能对角化,则求出相似变换矩阵,)计算.
解:1)由知的三个特征值分别为,当时,解方程组可得是的属于特征值的所有特征向量(..
由1)知有三个不同的特征值,,则
;3)由2),.
注:由1)知,是(也是)的属于特征值1的特征向量.
六、设矩阵有三个线性无关的特征向量,则和应满足什么条件?
解:由
可知,,因此,对应于二重特征