文档介绍：第四章高阶微分方程
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. ()
其中和都是某区间上的连续函数. ()称为齐线性(微分)方程, ()称为非齐线性(微分)方程. ()也称为()的对应齐方程.
. 区间上的k个函数称为是线性相关的, 如果存在不全为零的常数, 使得在上恒成立
.
如果这样的常数不存在, 称为是线性无关的.
2.(伏)郎斯基行列式. 如果函数还有直到阶的导数, 行列式
称为这些函数的伏郎斯基行列式或郎斯基行列式.
典型例题:已知是某一三阶齐线性方程的解, 试求
和的伏朗斯基行列式. (见模拟试题)
. 齐线性方程()的n个线性无关解称为()的一个基本解组。
(102页定理1)
!定理1对于任一及任意的n个常数, 线性方程()存在唯一解定义在, 且满足初始条件:
. ()
!典型例题:是满足方程和初始条件( )的唯一解.
(见模拟试题)
A. B.
C. D.
()的解的性质与结构
(i) (叠加原理). 齐线性方程()的k个解的线性组合
仍旧是()的解, 其中是任意常数.
(ii) 定理(书上定理3, 定理4). 齐线性方程()的n个解在上是线性相关的, 充分必要条件是在上.
对齐线性方程()的n个解还有进一步的结论:在上
是在某一点成立.
(iii) 定理5 (基本解组存在性) n阶齐方程()一定存在n个线性无关的解.
(iv) 定理6. (齐方程通解结构定理) 如果是齐线性方程()的n个线性无关解, 则()的通解及全部解可以表示为(其中是任意常数):
.
(v) 推论 n阶齐线性方程()的线性无关解的最大个数等于n, 全部解构成一个n维线性空间.
6. 非齐线性方程()与常数变易法
(i) 性质1 如果是方程()的解, 是方程()的解, 则是方程()的解.
(ii) 性质2方程()的任意两个解之差必为方程()的解.
(iii) 定理7. (非齐方程通解结构定理) 设是齐线性方程()的基本解组, 而是方程()的某一个解, 则非齐方程()的通解及全部解可以表示为(其中是任意常数):
.
* (iv) 二阶非齐线性微分方程的常数变易公式对于二阶非齐线性微分方程
,
常数变易公式为
如果我们考虑的是满足初始条件的初值问题,则解可表为:
. ()
*典型例题:求方程的通解, 已知它的对应齐方程有基本解组(第112页: .)
*典型例题:设是正常数. 证明方程的任何两个解之差当趋向于正无穷大时趋向于零.
(实)常系数齐线性方程
()
其特征方程为
. ()
其根为特征根. 设是原方程的n个特征根,而所有的不同的特征根为, 其中, 每个的重数为(, ), 则, 方程()对应的有如下的n个线性无关的解(基本解组):
()
如果特征根中有复根, 例如若是重根, 则也是方程()的重根, 因此方程()有如下个线性无关的实函数解:
其他复特征根也可类似处理.
典型例题:;;(第145页****题: 2. 4. 6)
!注意:齐欧拉方程是一类变系数的齐线性方程:
,
但是可以通过自变量变换化为常系数方程来求解(是新的自变量)。另一种方法是直接将解设为,代入方程确定常数K的取值,即可得到原方程的解。(后一种方法更为实用更为常用)
!典型例题:设和是相异的实数. 求欧拉方程的一个基
本解组(见模拟试题).
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, ()
其中为常数, 是连续函数. 对于一般的连续函数, 用常数变易法即可求出()的一个特解. 但对于比较特殊的连续函数, 可以用更简单的代数方法即比较系数法来求特解.
!类型I. 设有形如
其中和是实常数, 则非齐线性方程()有特解形如下:
. ()
如果不是对应齐方程的特征根, 取k=0; 如果是对应齐方程的某个特征根, 取k为这个特征根的重数, 为待定常数. 为确定这些常数, 我们可以采用待定系数法, 即将代入非齐方程(), 通过比较对应项的系数, 建立一个以为个未知元的线性方程组, 再求解方程组即可得到.
!典型例题: (见模拟试题).
!类型II. 设有形如