文档介绍：十大类型应用题的建模及解法策略

“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别, 就在于前者有许多具体的例子,而后者则只有抽象的理论。”在我们的生活中,不知你是否注意身边的数学问题,内容丰富且有及具魅力.
例1 某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,如下图,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合这位学生走法的图形是
答案D
例2 甲、乙两人同时从图书馆走向教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步,若两人步行、跑步的速度一样,则先到教室的是( )
A、甲 B、乙 C、甲、乙同时 D、无法确定
答案B
例3 在一条笔直的大街上,有n座房子,每座房子里有一个或更多的小孩,问:他们应在什么地方会面,走的路程之和才能尽可能地少?
分析:如何表示房子的位置?构造数轴,用数轴表示笔直的大街,几座房子分别位于x1、x2 、…、xn ,不妨设x1 < x2 <…< xn ,又设各座房子中分别有a1 、a2 、…、an 个小孩,则问题就成为求实数x ,使f(x)=∑ai|x - xi|(i=1,2……n)最小。
例4 给你一桶水,洗一件衣服,如果我们直接将衣服放入水中就洗;或是将水分成相同的两份,先在其中一份中洗涤,然后在另一份中清一下,哪种洗法效果好?答案不言而喻,但如何从数学角度去解释这个问题呢?
我们借助于溶液的浓度的概念,把衣服上残留的脏物看成溶质,设那桶水的体积为x,衣服的体积为y,而衣服上脏物的体积为z,当然z应非常小与x、y比可忽略不计。
第一种洗法中,衣服上残留的脏物为;
按第二种洗法:第一次洗后衣服上残留的脏物为;
第二次洗后衣服上残留的脏物为;
这就证明了第二种洗法效果好一些。
事实上,这个问题可以更引申一步,如果把洗衣过程分为k步(k给定)则怎样分才能使洗涤效果最佳?
学生对这个问题的进一步研究,无疑会激发其学习数学的主动性,且能开拓学生创造性思维能力,养成善于发现问题,独立思考的习惯。
“建模”就是构造模型,但模型的构造并不是一件容易的事,又需要有足够强的构造能力,而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础:创造性地使用已知条件,创造性地应用数学知识。

同学们,在现代企业中,几乎每一个公民都明白这样一个道理,降低生产成本,遏制有限资源的流失与浪费,是衡量企业管理的一个重要内容,,随着学生的增多,我校的教学资源已相对不足,为了改善办学条件,以适应现代教育的需要,我校决定在学校有限的土地上及有限的资金中,济出财力来建一栋一流的教学大楼,如何以最小的投入来获取最大的收益呢?让我们利用有关的数学知识,来共同来探讨如下几个问题.
x
y
o
图
59
25
5
39
G
B
A
问题1 在广铁一中的东南方有一块如图所的地,其中两面是不能动的围墙,,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的空地,问如何设计,才能使教学楼的面积最大?
解:由图建立如图所示的坐标系,可知AB所在的直线方程为
=1,即 x+y=20
设G(x,y),由y=20-x可知G(x,20-x).
∴ S=[39-5-(20-x)][23-(5+x)]=(14+x)(18-x)=-x2+4x+18·14
=-(x-2)2+256
由此可知,当x=2时,S有最大值256平方米.
故在线段AB上取点G(2,18),过点分别作墙的平行线,在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H、I,则第四个顶点K随之确定,如此矩形地面的面积最大.
问题2 学校的这一块地皮,通过专家估算,价值为400万,现用来建每层为256平方米的楼房,楼房的总建筑面积(即各层的面积之和)的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房升高一层,整栋楼房每平方米的建筑费用平均提高5%。已知建筑5层楼房时,每平方米的建筑费用为500元。为了使该楼每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),学校应把楼建成几层?
解:设应把楼房建成x层,则楼房的总面积为256x平方米,每平方米的购地费为4000000÷(256x)元,每平方米的建筑费用为500+500(x-5)·5% y=500+500(x-5)·5%+
=375+25x+≥375+2=375+2·
=375+750=1125(元)。
当25x=,即x2=,x==25时,y有最小值1125.
故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼房建成25层.
问题3 教学楼建好后,需要对房间