文档介绍：第一部分行列式
排列的逆序数(;、4题)
行列式按行(列)展开法则(;)
行列式的性质及行列式的计算()
第二部分矩阵
矩阵的运算性质
矩阵求逆及矩阵方程的求解(、18题;)
伴随阵的性质(;、24题;)、正交阵的性质()
矩阵的秩的性质(;、14、15)
第三部分线性方程组
线性方程组的解的判定(;、5、6、7),带参数的方程组的解的判定(;、17、18题)
齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)
非齐次线性方程组的解的结构(通解)
第四部分向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)
第五部分方阵的特征值及特征向量
、特征向量的性质及计算(、9、10;)
,尤其是对称阵的相似对角化(、16、19、23题)
线性代数
1、行列式
行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
代数余子式和余子式的关系:
行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;
④、和:副对角元素的乘积
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值
证明的方法
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
是阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;
与等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是的一组基;
是中某两组基的过渡矩阵;
对于阶矩阵: 无条件恒成立;
矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、
③、
④、
⑤、
3、矩阵的初等变换与线性方程组
一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;
等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵、,若;
行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
初等矩阵和对角矩阵的概念: