文档介绍：多边形的重心
218吴昀昕
222许晋婕
223游凯婷
指导老师:桂雪萍老师、蔡芸兰老师
台北市立敦化国民中学资源丙班
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研究动机
在上了基本几何作图后,桂老师向我们介绍了「重心」这个概念。在课中同学间的讨论及老师的讲解之后,我们决定要利用这次独立研究的机会,好好的探讨这个重心的延伸主题─多边形的重心。
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研究目的

,找出多边形的重心,并整理出最佳方式
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方法讨论─寻找重心的方法
※方法一─铅垂法
〈做法〉假定有一块如右图所示般形状不规则的木板,其重心在G点上。首先,用绳子穿过A点而将木板悬吊起来,木板就会如图般往右移动,直至重心G点在A点的正下方才稳定下来。此时,如果我们从A点画一条铅垂线,G点必在这条铅垂线上。同样的我们把绳子穿过B点而将木板悬吊起来,等到木板稳定下来,自B点引一条铅垂线,重心G仍会在这条铅垂线上。由A、B二点分别所画的铅垂线的交点,正是这块木板的重心G。
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〈分析〉不管是什么样的形状,这个方法都适用。因为不管是通过A点或B点的铅垂线,当此木板在悬吊并达到平衡(也就是不会晃动)时,铅垂线左右的重量必相同,才可达到平衡。而由A、B两点所做的两条铅垂线的交点,可使两组被铅垂线切成两块的木板都达到平衡。因此交点G便是此木板的重心─顶着它可以达到平衡的点。这是个较偏向理化做法的方式。
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※方法二─三角形的重心
〈做法〉任两中线(连三角形任一边的中点至对顶点的线段)的交点,即为此三角形之重心。
〈分析〉一中线可以平分此三角形的面积(等底同高),若此三角形是一张纸,厚度忽略不计,则中线也可平分重量。因此,两中线的交点便是重量的平衡点─重心。
课内教材,不再多说
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※方法三─正多边形及圆形的重心
〈做法〉正多边形─取两条线对称轴的交点(奇数边形之对称轴为点与对边中点的连线;偶数边形的对称轴为点与对点的连线),即为重心。圆形─圆心即为重心。
〈分析〉正多边形的线对称轴便是面积平分线,也就是质量平分线;圆形亦同。(同上)
→感觉上,似乎在平面图形上找出两条可平分面积(质量)的线,在找出其交点即可找到重心。
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方法展示
在参考过以上的重心找法后,我们试着自己用标尺作图找出多边形的重心,以下是我们的讨论:
§四边形
、菱形、正方形、平行四边形的重心均是两对角线的交点。
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(包括鸢形、梯形):
《分割法》连一条对角线将其切成两个三角形,分别找出重心,连两重心之线段(以下我们在本文均统称为「重心线」);再连另外一条对角线,画出两个不同于上一次的三角形,也分别找出两个三角形的重心,连重心线。则此两条重心线会交于一点,此点即为重心。
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【分析一】重心,可视为此图形的质量中心(「质心」),因此,在作第一条三角形重心连线时,我们可以确定此四边形的重心一定会在此线段上。利用同样的思考再换个方向做一次,则重心会同时在这两条重心在线,即为两重心线的交点。
﹝例一﹞以图一四边形ABCD中,求做重心:,得∆ABD、∆CBD
∆ABD、∆CBD之重心g1、g2
,连AC作出∆ACD、∆ACB之重心g3、g4

(图一)
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