文档介绍：◆导数概念的物理背景——变速直线运动的即时速度
极限思想：令 t →t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度即
直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。
如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均
速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时
速度 呢？
问题：设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间△t, 得到平均速度，即
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◆导数概念的几何背景——曲线的切线问题
问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M , 如何确定曲线在点 M 处的切线？
过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定点 M 靠拢时，割线 MN 则绕定点 M 旋转而趋于极限位置 MT , 得到曲线在点 M 的切线。
M
N
T
M
N
x
y
o
T
切线：割线的极限位置。
上述过程可用极限式表示如下：
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◆导数 Derivative的概念
也可记作
若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该邻域内）时， 相应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与△x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 (derivable)，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数(deriva 记为
即
在引例中有
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◆导数定义的不同形式
导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质
差商
解答
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◆变化率问题
设某个变量 Q 随时间 t 的变化而变化，时刻 t 取值 Q (t),
从时刻 t 经过 △t 时间， 量 Q 的改变量为
量 Q 的平均变化率为
(1)求增量
(2)求增量比
(3)取极限
导数是平均变化率的极限
◆导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。
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◆导数的几何意义
M
x
y
o
T
法线是过切点且与切线垂直的直线
的切线方程为
法线方程为
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求导数步骤：
(1)求增量
(2)算比值
(3)求极限
例题 设 ，求
解
所以
如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果
其结果表示是x的函数，称之为导函数。
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若函数 y=f (x) 在开区间 I 内的每点处都可导，就称函数 y=f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对于任意 x ∈I , 都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y=f (x) 的导函数（简称导数derivative），记作：
把 x0 换成 x , 可得
或
◆导函数的概念
点导数与导函数的关系
如上例中
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◆利用定义求导数举例
例1 求常值函数 的导数。
解
所以常数的导数等于零，即
例2 求正弦函数 的导数。
所以
同理可求得
解
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对一般的幂函数有
例3 求幂函数 的导数。
解
所以
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