文档介绍：分类讨论的思想方法
四、分类讨论的思想方法
[概述]：
分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一
方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决
了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找
出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前n 项和公
式，要依据公比q 1 和q 1 得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形
所需条件的限制引起的讨论；如方程ax b 0 的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如ABC 到平面 的距离分别
为a,b,c ，求ABC 重心到平面 的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截
距式；6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题 。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象
以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类
型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。
简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。
[例题分析]
例 1：设集合M {1,0,1}, N {2,3,4,5,6} ，映射f : M N ，使对任何x M ，都有x f (x) xf (x) 是奇数，这样
的映射f 有多少个？
变式：设函数f :{1,2,3} {1,2,3} ，满足f ( f (x)) f (x) ，则这样的映射个数有：
A：1 个；B：4 个；C：8 个；D:10 个。
例 2：设A {x ax 1 0}, B {x x2 3x 2 0} ，若A B ，则a 的值构成的集合是 。
例 3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数y a x 在[0,1] 上最大值与最小值之差为 3，则a 的值是多少？
x a
变式：解关于x 的不等式： 0(a R)
x a2
变式：已知函数f (x) lg(x2 2x m), 其中m R 为常数，求这个函数的定义域。
2
例 4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前n 项的和Sn 32n n 求数列{| an |} 的前n 项的和Pn 。
例 5．给出定点A(a,0)(a 0) ，和直线l : x 1, B 是直线l 上一动